楕円型境界値問題と領域の幾何

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本研究は領域の幾何学的性質が楕円型偏微分方程式に対する境界値問題の解の性質にどのように影響するかを具体的な問題について明らかにすることを目的として行われた.研究代表者は以前Wei-Ming Niとの共同研究において,ある種の単独二階半型楕円型方程式に対するノイマン問題を考察し,拡散係数が十分小さいという仮定の下で,その最小エネルギー解は領域の境界上にただ一つの点においてのみ最大値を達成すること,その点は境界の平均曲率が最大となる点の近傍にあることを示し,更に,最小エネルギー解の漸近形を明らかにした.本研究では,逆に領域の境界の平均曲率の臨界点において最大値を達成するような解を構成するという問題を考察した.残念ながら今回の研究期間中には一般の領域においてこの問題に対する最終的な解答を与えることは出来なかったが,領域が軸対称である場合には,対称軸と境界との交点において最大値をとる解を構成することが出来た。これは十分精密な第一近似を構成することによりそのまわりでの線型化作用素の可逆性に関する詳しい情報が得られることを用いる.この方法を更に精密化することで一般の場合が解析できるものと予想される.また,この結果に基づいて,ある反応拡散方程式系の軸対称領域における点凝集定常解を構成し,その安定性について考察した.そのような定常解の安定性も最大値をとる点における境界の平均曲率と密接な関係があることがわかってきた(Wei-Ming Ni及び柳田英二との共同研究).このような研究においては線型化作用素のスペクトルについて知ることが本質的である.猪狩惺はルべッグ空間の間のフーリエ・マルチプライヤの作用関数を決定し,平行移動不変な作用素のスペクトルを明らかにした.