変分法とその反応拡散方程式系への応用

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本研究では主として単独の半線型楕円型偏微分方程式に対する境界値問題を変分法の観点から考察し,それを反応拡散方程式系の定常解の構成及びその安定性の判定に応用した.まず,双安定な非線形項をもつ半線型楕円型方程式に対するディリクレ問題の解で境界層を持たないものを求めた.このような解はエネルギー汎函数の鞍点となるため,峠の題を用いて解の存在を示した.反応拡散系への応用と云う観点からは解の構造についての詳しい情報を導いておく必要がある.特に拡散係数が十分小さい場合に,解の漸近挙動に関して次のような結果を得た.峠の補題によって与えられる解はただ一点で極大になり,(従って,それは最大値である)この最大値を実現する点は,拡散係数が0に近づくとき,境界からの距離が最大になる点に近づく,また,このことを証明する際の副産物として解の漸近形が得られた.一方,単安定な非線型項をもつ半線型楕円型方程式に対するノイマン問題の解は活性因子-抑制因子型の反応拡散系の点凝集定常解を構成する際に本質的な役割を果たす.空間次元1の場合に単独方程式の解の不安定次元を計算し,そのことの帰結として,抑制因子の拡散が十分早い場合,区間内部に凝集するような定常解は不安定であることを明らかにした.(以上は、ウェイミンニィ、柳田英二及びジュンチェンウェイ氏の研究協力により明らかになった。)研究分担者は様々な変分問題と安定性の判定のために必要な線型化作用素を研究した.増田久弥は微分幾何学に現れる変分問題を取り上げ劔持勝衛と共同して複素2次元射影空間の定ガウス曲率の最小曲面を完全に分類した.また,佐藤得志は非線型楕円型方程式の特異性をもった解の集合の大域的構造を研究した.