微分方程式の摂動問題

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本研究は微分方程式の解あるいは解のなす集合に何らかの特異性が生じるような状況に着目し,その特異性を手掛りにして解の性質を詳しく調べようというものである。最高階の偏導函数の係数が非常に小さい楕円型偏微分方程式は解に境界層や内部遷移層が生じ得る特異摂動問題とみなすことができる。高木は巾型非線型項をもつ半線型楕円型方程式のノイマン問題を特異摂動の観点から研究し、次の結果を得た。(1)ソボレフの埋込み定理から規定される臨界増大度よりも小さい非線型性について,最小エネルギー解は領域の境界上のただ一点のみにおいて最大値をとり,しかも拡散係数が0に近づくときこの最大点は境界の平均曲率を最大ならしめる点に近づくことを示した。(2)活性因子ー抑制因子型のある反応拡散方程式系に対し、軸対称領域において複数個の点に鋭いピークをもつような定常解を構成した。(以上W.-M.Niとの共同研究による。)これらは生物の形態形成の数理モデルとそれを最も単純化したものであり,解の存在という観点からは第一段階を越えることが云えるが,解の安定性という重要な問題は依然未解決である。解の特異性について,堀畑は変分問題の解の特異点の集合の大きさを測った。また,藤家は複素領域におけるある二階のフックス型偏微分方程式について調べ,解の特異性が超幾何函数によって記述できることを示した。加藤は遅れをもつ微分方程式を様々な角度から研究し,終局有界性と同等終局有界性の間の関係を明らかにするなどの結果を得た。新井は強擬凸領域上の解析函数からつくられるハーディ空間が単位円板上の古典的ハーディ空間と同型であることを証明した。