シンプレクティック群上の新谷関数とその保型L関数への応用

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本年度はシンプレクティック群とSL(2)×SL(2)、または2次の複素特殊線形群上の保型形式に対する新谷関数の明示公式の研究、およびその応用に関する情報収集を行った。新谷関数は村瀬--菅野型のゼータ積分を用いた保型L-関数の構成において中心的な役割を果たす特殊関数である。しかし、無限素点における局所新谷関数の研究は十分に進んでいるとは言えず、今後の発展が期待される。また、新谷関数は表現の分岐則とも関係し、保型形式論のみならず表現論の立場からも興味深い研究対象である。本年度は、半単純階数2のシンプレクティック群の主系列表現に対応する保型形式に関する新谷関数のみたす微分(-差分)方程式を導出した。また、保型形式がスカラー値である場合に、その微分方程式の解を構成することで、新谷関数の明示公式を証明した。今後はシンプレクティック群の主系列表現に対応する保型形式がスカラー値でない場合に新谷関数明示公式の導出を試みる。また、得られた明示公式を用いて村瀬--菅野型のゼータ積分を計算することにより、保型L-関数の解析接続や関数等式、特殊値への応用についても考えたい。また、前年度に得られた結果である、楕円モジュラー形式に付随するランキン--セルバーグL-関数の特殊値の明示公式、integrality、およびランキン--セルバーグL-関数の特殊値を用いた保型形式の特徴づけについて研究発表を行った。