Local representation of smooth functions and asymptotic analysis in harmonic analysis

点击翻译按钮获取中文摘要

2022年度は局所ゼータ関数について研究を行った。局所ゼータ関数は無限階微分可能実数値関数を用いて右半平面上定義される複素正則関数であり、その有理型解析接続可能な領域や特異点での振る舞いについて調べた。特に、無限階微分可能関数の「モデル」に属する特別な実2変数関数によって定義される2次元局所ゼータ関数について、その特異点での振る舞いを詳細に調べた。ここで無限階微分可能関数のモデルとは単項式と平坦な関数の和で表されるような関数である。実解析的関数の場合は広中の特異点解消により単項式の場合が本質的に重要であったため、このモデルの重要性も同様に示唆されるが、実際に九州大学の神本氏により、実2変数の平坦でない無限階微分可能関数は局所的に上記のモデルで表示されることが示されている。前年度、2変数無限階微分可能関数のモデルにおける単項式の次数が等しい場合に、局所ゼータ関数の極でない特異性を取り出すことができたのだが、その特異性については上からと下からの評価によるものであった。2022年度ではこのような場合の特別な無限階微分可能関数に対して局所ゼータ関数の特異点におけるさらに精密な漸近挙動を得ることができ、極以外の特異性が漸近展開の中の対数項として見いだされた。その結果、その特異点を越えるような有理型解析接続が不可能であることが分かった。先行研究において有理型解析接続可能な領域の大きさを測るために定義した量があるのだが、モデルの場合の下からの評価については既に得られており、この結果を用いることでモデルのほとんどすべての場合でその評価が最良であることが示された。