距離空間上の粘性解の基礎と応用

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本年度は以下の研究課題に取り組んだ。フラクタル上のハミルトン・ヤコビ方程式の均質化。ハミルトン・ヤコビ方程式は解析力学や前線伝播の問題において重要な役割を果たし、応用上フラクタルなどの非ユークリッド空間上の方程式を考察することは意義が大きい。そこで、一般化された空間上のハミルトン・ヤコビ方程式の解の挙動に関する問題についてハミルトン・ヤコビ方程式を扱ううえで標準的な粘性解の理論を用いて研究している。特に本年度は、微視的な空間構造が巨視的に見るとどう影響するかという均質化の問題を、フラクタルの一種であるシェルピンスキー・ギャスケットについてその自己相似性から定式化し取り組んだ。これは数学的にも人体などの複雑な系での運動を理解するなどのことに応用されると期待される。均質化は数学的には特異極限の問題として定式化されるが、極限方程式特に実効ハミルトニアンが何であるかが大きな問題である。一昨年度と昨年度の研究では、実効ハミルトニアンの各種表現公式に格子線上の均質化の先行研究からの類推など様々な視点からこの問題に取り組んだ結果、下限・上限型の表現公式に基づく方法が最も適しているという結論に至り、均質化の部分的な結果として粘性解の片側の半極限に関する結果を得たが、本年度はもう片側の半極限に関する考察を行った。粘性解の試験関数の工夫。本年度はフラクタル上のハミルトン・ヤコビ方程式の均質化の議論をする際に得られた粘性解の試験関数の範囲を特殊な形に制限してもよいという事実が粘性解の安定性の議論に応用できると学びその話題を追求した結果、試験関数として二乗距離関数まで制限できるという結果を得て、安定性の研究に結果を提供した。