反応拡散方程式系によって生成される界面運動と伝播の研究

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2022年度は, 生物種の侵入現象を表す反応拡散方程式の自由境界問題に対して, 非線形項が正値双安定のとき, (a)球対称領域の場合, (b)一般多次元領域の場合について研究した。さらに, 反応拡散系の一種で生物の形態形成を表すGierer-Meinhardt系に対して, (c)シャドウ系に対する定常解の分岐構造と安定性, 最大値・最小値の漸近評価について研究した。なお, (a),(b)は松澤寛教授(神奈川大学)と山田義雄教授(早稲田大学)との共同研究であり, (c)は宮本安人教授(東京大学)と若狭徹准教授(九州工業大学)との共同研究である。(a)については, 前年度の研究成果について, 証明の各部分を点検するとともに, 論文の趣旨が明確になるように再構成し, 投稿した。(b)については, 一般多次元領域の場合への(a)の結果の拡張に取り組んだ。まず, 時間無限大における解の漸近挙動を4種類に分類し, 次にBig spreading解のレベルセットについて, 自由境界に近い所と離れた所を比較して, 進行速度が異なることを示した。これはテラス型進行波の発生を示唆する結果である。この成果に関する論文を作成し, 投稿した。(c)では, 上記とは異なる反応拡散系に対して, 解の時空間的なパターンを調べた。具体的にはGierer-Meinhardt系に対するシャドウ系の定常問題に対して, スカラーフィールド方程式と, 対応する固有値問題を詳しく解析することによって, シャドウ系の定常解の分岐構造と安定性を示した。また分岐パラメータが0に近づく場合に, 解の最大値と最小値の漸近評価についても求めた。この成果に関する論文を作成し, 投稿した。(a),(b)の研究成果について，日本数学会秋季総合分科会，第17回非線形偏微分方程式と変分問題，九州工業大学数理セミナーにおいて発表した。