弾性体に対する障害物問題の解析とその数値解法について

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本研究では，「弾性体に対する障害物問題の解析」と「その数値解法」を課題としている。今年度は，弾性体に対する障害物問題の解析の基盤となる，弾性体の伸縮運動を記述するモデルの数学的解析に取り組んだ。本研究において，輪ゴムのような細長い弾性体の物質を2次元平面上の閉曲線とみなした数理モデルについて考察する。これまでは，このような細長い物質の運動は定義域と値域をともに，3次元領域や1次元区間とする未知関数によって記述されて微分方程式モデルが考察されてきた。定義域と値域を1次元区間とした場合は物質の曲がりが表現できず，3次元領域とした場合は方程式が複雑になるため見通しが持ちにくいと考え，定義域を1次元区間，値域を2次元平面とするモデルを考察するに至った。開始時点で，2次元閉曲線モデルは導出済みであり，その問題に現れる非線形歪みを扱うためには，特異点をもつ応力関数の導入が有効であることがある程度分かっていた。また，応力関数の効果によって得られる歪みに対する下からの評価により，モデルの弱解や強解の存在や一意性も証明済みであった。今年度は時間無限大における解の挙動の解析を研究課題とした。そこで，時間無限大の挙動の解析に意味を持たせるため，エネルギーの減衰を記述する粘性項を加えたbeam方程式について考察し，以下の結果を得ることができた。まずは弱解と強解の双方について，時間に依存しない一様評価を得ることができた。本問題の設定は物質の移動について，摩擦を仮定していないため，初期値によっては物質の重心が等速直線運動によって移動するため，位置に関する一様評価が得られない。そこで，空間座標軸を重心を原点とする移動座標系に変換することにより，解に対する一様評価を示せた。また，この評価より，解の時間無限大での挙動に関する結果も証明できた。