A refinement of quantum information theory by algorithmic randomness

量子力学では確率概念が本質的な役割を果たす。この確率概念はボルン則として量子力学に導入される。しかしながら、量子力学を記述する今日の数学において確率論とは測度論のことであり、ボルン則が基づく“確率概念”に関して、操作的な特徴付けは見当たらない。さて、これまでの研究で私は、アルゴリズム的ランダムネスの概念装置に基づいて、“典型性原理”と呼ぶボルン則を操作主義的に明確化した代替規則を導入した。本研究は、典型性原理に基づく我々の枠組が、量子力学の実際の問題の取扱いとその解析において適切に機能することの実証を目的として、典型性原理を、量子暗号をはじめとする量子情報理論の主要な技術に適用し、典型性原理に基づいてそれら技術の精密化を行い、量子情報理論の再構成を行うものである。本研究では、2018年4月の開始以来、「交付申請書」に記載した「研究実施計画」の通りに研究を進め、当初計画の最終年度である2021年度までに、量子テレポーテーション、スーパーデンスコーディング、量子操作、量子誤り訂正の一般論、主要な量子誤り訂正符号のクラスであるCSS符号及びその一般化であるスタビライザー符号、量子情報源符号化、量子通信路上での古典情報の通信路符号化、量子通信路上での量子情報の通信路符号化などに対し、次々と典型性原理を適用し、それらの精密化と再構成を行った。量子暗号BB84の安全性証明は量子情報理論の全般にわたる種々の結果を総動員して行われるが、2021年度の研究の最後では、上述の成果に立脚し、典型性原理に基づいて、この安全性証明を再構成し、その精密化を行った。以上のように、本研究では、量子情報理論を題材にして典型性原理によってその精密化・再構成を行うことにより、典型性原理の有効性と妥当性を追認し実証した。2022年度は、本研究で得られた膨大な研究成果を論文にまとめるための作業等を行った。

量子力学では確率概念が本質的な役割を果たす。この確率概念はボルン則として量子力学に導入される。しかしながら、量子力学を記述する今日の数学において確率論とは測度論のことであり、ボルン則が基づく“確率概念”に関して、操作的な特徴付けは見当たらない。さて、これまでの研究で私は、アルゴリズム的ランダムネスの概念装置に基づいて、“典型性原理”と呼ぶボルン則を操作主義的に明確化した代替規則を導入した。本研究は、典型性原理に基づく我々の枠組が、量子力学の実際の問題の取扱いとその解析において適切に機能することの実証を目的として、典型性原理を、量子暗号をはじめとする量子情報理論の主要な技術に適用し、典型性原理に基づいてそれら技術の精密化を行い、量子情報理論の再構成を行うものである。本研究では、2018年4月の開始以来、「交付申請書」に記載した「研究実施計画」の通りに研究を進め、当初計画の最終年度である2021年度までに、量子テレポーテーション、スーパーデンスコーディング、量子操作、量子誤り訂正の一般論、主要な量子誤り訂正符号のクラスであるCSS符号及びその一般化であるスタビライザー符号、量子情報源符号化、量子通信路上での古典情報の通信路符号化、量子通信路上での量子情報の通信路符号化などに対し、次々と典型性原理を適用し、それらの精密化と再構成を行った。量子暗号BB84の安全性証明は量子情報理論の全般にわたる種々の結果を総動員して行われるが、2021年度の研究の最後では、上述の成果に立脚し、典型性原理に基づいて、この安全性証明を再構成し、その精密化を行った。以上のように、本研究では、量子情報理論を題材にして典型性原理によってその精密化・再構成を行うことにより、典型性原理の有効性と妥当性を追認し実証した。2022年度は、本研究で得られた膨大な研究成果を論文にまとめるための作業等を行った。