双曲的多様体の構造変形について

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3次元双曲線多様体の全測地的境界全体のなす,Riemann面のmoduli空間Mgの部分集合をSgとする。このとき,SgはMgでdenseであることが一昨年度のSomaとの共同研究で示され,Sgは重要な研究対象と認識されてきた。さて,Thurstonのideal tefrahedron分解を用いての3次元多様体の双曲構造の変形空間の記述と同様に,全測地的境界をもつ3次元双曲多様体については,その構造変形空間がtrunncated tetrahedron分解を用いて記述される。この分解に付随して全測地的境界の三角形分解の変形も記述されるので,3次元多様体の変形空間から,境界のTeichmiiller空間への自然な写像下が定義される。このとき,この写像下の微分も計算できて,3次元多様体の双曲構造を変形したときの全測地的境界のTeichmiiller空間内での動きが,微分レベルで捉えられる。そこで,Kojimaと共同して,下の微分の計算をもとにして,その動きを詳しく解析し,下が埋め込みとなる例を発見した。一方,Neumann-Reidにより,Fが定数となる3次元多様体の境界の例が特殊なものとして見つかっていた。しかしながら,Somaとの共同研究でこのような境界全体をCgとすると,CgがMg内でdenseとなるくらい多く存在することが示せた。