双曲的3次元多様体の構造変形について

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3次元双曲多様体の全測地的境界全体のなす、Reimann面のmoduli空間M_gの部分集合をS_gとすると、S_gはM_gでdenseであろうと、Thurstonにより予想されていたが、最近、Somaとの共同研究で、McMullenによるTeichmuller空間に関する深い結果を用いてこの予測を肯定的に解決した。また、Thurstonのideal tetrahedron分解を用いての3次元多様体の双曲構造の変形空間の記述と同様に、全測地的境界をもつ3次元双曲多様体については、その構造変形空間がtruncated tetrahedron分解を用いて記述されることを証明した。この分解に付随して全測地的海峡の三角形分割の変形も記述されるので、3次元多様体の構造変形空間から、境界のTeichmuller空間への自然な写像Fが定義される。このとき、この写像Fの微分の計算もできて、3次元多様体の双曲構造を変形したときの全測地的境界のょうTeichmuller空間内での動きが、微分レベルで捉えられることになった。Kojimaと共同して、Fの微分の計算をもとにして、その動きを詳しく解析した。これは、S_gのM_g内での分布の様子について、S_gがM_g内でdenseであるということ以上のの具体的情報を与えている。つまり、3次元双曲構造の変形はDehn手術と関連があるので(Thurston)、3次元多様体論において重要なDehn手術理論の観点から、S_gの元の特徴付けを与えるものとなっている。今後は、我々によって導入されたTeichmuller空間の座標と他の座標(例えばFenchel-Nielsen座標)との関連を調べることにより、S_gについての情報を得ていこうと計画している。