多変数モジュラー形式の数論的, 幾何学的及びp進的応用

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正則保型形式は主として、ジーゲル保型形式やU(n,n)のエルミート保型形式のような管状領域を持つ群の場合に研究されて来ました。非管状領域の保型形式があまり研究されていない理由は、Fourier展開がないことです。管状領域の正則保型形式のFourier係数にHecke作用素が作用し、L関数やGalois表現に結びついて豊富な情報をもたらすことは、一変数保型形式の理論においてよく知られています。多変数の場合にもテータ関数のフーリエ係数には二次形式の表現数が現れ、Leech格子などのEuclid格子の研究に応用されています。テータ級数をアイゼンシュタイン級数に結び付けるジーゲル・ヴェイユ公式は、二次形式論だけでなく保型表現論でも重要な役割を果たしています。筆者は本年度にU(2,1)などの非管状領域を持つユニタリ群の正則保型形式の研究を進めました。前半ではU(2,1)の重さ1のアイゼンシュタイン級数とテータ級数のジーゲル・ヴェイユ公式を証明し、両辺のフーリエ・ヤコビ係数を計算しました。後半にはU(2,1)とU(1,1)の正則保型形式に関するp進L関数を構成する研究に取り組みました。U(2,1)の保型形式とU(1,1)の保型形式の積のU(1,1)上の積分は、(多くの数学者により最近その証明が完成した)市野-池田公式によりL関数の中心値と局所積分の積になります。この等式からp進L関数を構成するには、U(2,1)の保型形式からU(1,1)の保型形式の適切なp進族を構成して、対応する局所積分を計算する必要があります。筆者は有限指標に対してp-depletionを定義して、その性質を研究し、p進体や実数体、分岐素点など様々な状況設定で局所積分を計算しました。