K3曲面の周期と鏡映群の不変式による保型形式の研究

利用K3面周期性和反射群不变公式研究自守形式

基本信息

批准号：
22K03226
负责人：
永野中行
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Kanazawa University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究代表者は今までの一連の研究において、格子偏極K3曲面の周期写像を構成し,その逆対応が多変数の保型形式を与える場合を調べてきた.そのような保型形式は幾つかの場合に複素鏡映群の不変式にテータ関数を代入する形で表示される.本研究の目的はこのようなK3曲面を整数論に応用することと,この現象の背後にある原理を追求することである.まず,保型形式が階数5の例外型複素鏡映群の不変式とテータ関数で明示的に表示されるようなK3曲面族で,主偏極アーベル曲面のクンマー曲面の族が自然に含まれるものを見出した.そのK3曲面族の格子構造を決定し,またクンマーサンドイッチの拡張と見做せるK3曲面の間の二重被覆構造を詳細に考察した.この結果は志賀弘典氏(千葉大)との共著論文で,本年度最終修正が行われ,オンライン出版された(Mathematische Nachrichten, DOI:10.1002/mana.202100552).次に,3次元トーリックFano多様体と双対の関係にあるトーリック多様体の超曲面として出現するK3曲面族の格子構造を決定した.この結果はミラー対称性におけるドルガチェフの予想がある場合に正しいことを証明する.この研究においては,昨年度金沢大学の大学院生であった松村朋直氏が構成したK3曲面上の切断付き楕円ファイバーが重要な役割を果たす.この結果は松村氏との共著論文として本年度執筆され(arXiv:2208.01465),現在投稿中である.これらの結果を整数論に応用するうえで,多変数テータ関数の代数関係式が大きな役割を果たすと予想される.本研究代表者は本年度,I型有界対称領域上のテータ関数が満足する代数関係式を与える方法を与えた.これはヤコビのテータ関数が満足するリーマン関係式の自然な拡張である.この結果は単著論文にまとめられ(arXiv:2301.09243),現在投稿中である.

在一系列研究人员中，现任研究人员调查了构建晶格偏振的K3表面的定期映射的情况，并且逆通信给出了多元保护形式。在某些情况下，通过将THEA函数分配给不变的复杂镜组来显示此类保存形式。这项研究的目的是将这种K3表面应用于整数理论，并追求这种现象背后的原则。首先，保存形式是杰出的复杂镜，排名为5。我们发现，由组不变式和theta函数明确显示的K3表面部落自然包括主要极化亚伯表面的Kummer表面家族。我们确定了K3表面部落的晶格结构，还详细检查了K3表面之间的双层覆盖结构，这可以被视为Kummer三明治的扩展。该结果是与Shiga Hironori（Chiba Univ。）共同撰写的一篇论文，该论文在网上进行了修订和出版（Mathematische）。 Nachrichten, DOI:10.1002/mana.202100552).Next, we determined the lattice structure of the K3 surface tribe that appears as hypersurfaces of toric manifolds that are dual to 3D toric Fano manifolds.This result proves that it is correct when there is a prediction of Dolgachev in mirror symmetry.In this study, cutting elliptic fibers on the K3 surface, composed by去年卡纳泽大学（Kanazawa University）的研究生Matsumura Tomonao扮演着重要角色。这是与Matsumura合着的纸，并与Matsumura共同撰写了纸。今年，今年撰写（Arxiv：2208.01465），目前正在提交。预计多变量定理函数的代数关系将在将这些结果应用于整数理论中起主要作用。今年，主要研究者提供了一种给出代数关系的方法，该关系可以满足I型有限的对称域上的TATER功能。这是满足雅各布剧院功能的Riemann关系的自然扩展。该结果已编译为单人作者的纸（Arxiv：2301.09243），目前正在提交。