K3曲面の周期と鏡映群の不変式による保型形式の研究

本研究代表者は今までの一連の研究において、格子偏極K3曲面の周期写像を構成し,その逆対応が多変数の保型形式を与える場合を調べてきた.そのような保型形式は幾つかの場合に複素鏡映群の不変式にテータ関数を代入する形で表示される.本研究の目的はこのようなK3曲面を整数論に応用することと,この現象の背後にある原理を追求することである.まず,保型形式が階数5の例外型複素鏡映群の不変式とテータ関数で明示的に表示されるようなK3曲面族で,主偏極アーベル曲面のクンマー曲面の族が自然に含まれるものを見出した.そのK3曲面族の格子構造を決定し,またクンマーサンドイッチの拡張と見做せるK3曲面の間の二重被覆構造を詳細に考察した.この結果は志賀弘典氏(千葉大)との共著論文で,本年度最終修正が行われ,オンライン出版された(Mathematische Nachrichten, DOI:10.1002/mana.202100552).次に,3次元トーリックFano多様体と双対の関係にあるトーリック多様体の超曲面として出現するK3曲面族の格子構造を決定した.この結果はミラー対称性におけるドルガチェフの予想がある場合に正しいことを証明する.この研究においては,昨年度金沢大学の大学院生であった松村朋直氏が構成したK3曲面上の切断付き楕円ファイバーが重要な役割を果たす.この結果は松村氏との共著論文として本年度執筆され(arXiv:2208.01465),現在投稿中である.これらの結果を整数論に応用するうえで,多変数テータ関数の代数関係式が大きな役割を果たすと予想される.本研究代表者は本年度,I型有界対称領域上のテータ関数が満足する代数関係式を与える方法を与えた.これはヤコビのテータ関数が満足するリーマン関係式の自然な拡張である.この結果は単著論文にまとめられ(arXiv:2301.09243),現在投稿中である.

本研究代表者は今までの一連の研究において、格子偏極K3曲面の周期写像を構成し,その逆対応が多変数の保型形式を与える場合を調べてきた.そのような保型形式は幾つかの場合に複素鏡映群の不変式にテータ関数を代入する形で表示される.本研究の目的はこのようなK3曲面を整数論に応用することと,この現象の背後にある原理を追求することである.まず,保型形式が階数5の例外型複素鏡映群の不変式とテータ関数で明示的に表示されるようなK3曲面族で,主偏極アーベル曲面のクンマー曲面の族が自然に含まれるものを見出した.そのK3曲面族の格子構造を決定し,またクンマーサンドイッチの拡張と見做せるK3曲面の間の二重被覆構造を詳細に考察した.この結果は志賀弘典氏(千葉大)との共著論文で,本年度最終修正が行われ,オンライン出版された(Mathematische Nachrichten, DOI:10.1002/mana.202100552).次に,3次元トーリックFano多様体と双対の関係にあるトーリック多様体の超曲面として出現するK3曲面族の格子構造を決定した.この結果はミラー対称性におけるドルガチェフの予想がある場合に正しいことを証明する.この研究においては,昨年度金沢大学の大学院生であった松村朋直氏が構成したK3曲面上の切断付き楕円ファイバーが重要な役割を果たす.この結果は松村氏との共著論文として本年度執筆され(arXiv:2208.01465),現在投稿中である.これらの結果を整数論に応用するうえで,多変数テータ関数の代数関係式が大きな役割を果たすと予想される.本研究代表者は本年度,I型有界対称領域上のテータ関数が満足する代数関係式を与える方法を与えた.これはヤコビのテータ関数が満足するリーマン関係式の自然な拡張である.この結果は単著論文にまとめられ(arXiv:2301.09243),現在投稿中である.