Stability of two parameter family of solitary waves for nonlinear dispersive equations

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本年度は以下の三つの成果を得ている。1. 引力的な逆べき乗ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の基底状態定在波解の強不安定性について太田雅人氏と共同研究を行った。Fukuizumi-Ohta(2003)により質量不変なスケール変換を用いた定在波解の不安定性の条件が与えられていた。またOhta-Yamaguchi (2016)により基底状態のエネルギーが正ならばその定在波解は強不安定、すなわち有限時間爆発により不安定であることが示されている。Ohta-Yamaguchi(2016)の強不安定性の条件はFukuizumi-Ohta (2003)の不安定性の条件よりも真に強い。本研究では逆べき乗ポテンシャルに対してFukuizumi-Ohta (2003)による不安定性の条件の下で孤立波解の強不安定性を示すことに成功した。2. 二つの集約的な非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の定在波解の強不安定性について太田雅人氏と共同研究を行った。ただし非線形項の一つは質量劣臨界、一つは質量優臨界である。この方程式に対して1で得られた条件の下で強不安定性を示すことに成功した。3. 引力的な逆べき乗ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の基底状態解の一意性と非退化性について研究を行った。一般の非線形楕円型方程式の基底状態の一意性と非退化性の十分条件がShioji-Watanabe(2013, 2016)によって得られているが、逆べき乗ポテンシャルの場合、原点での特異性が強いためこれらの結果は部分的にしか適用できない。本研究ではポテンシャルや解の原点付近でのオーダーをより精密に解析することにより、Shioji-Watanabe(2013, 2016)の結果を拡張し、逆べき乗ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の基底状態解の一意性と非退化性を証明した。