非線形分散型方程式の孤立波解の安定性と不安定性

非线性色散方程孤立波解的稳定性和不稳定性

• 批准号: 02J10482
• 负责人: 福泉 麗佳
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-02J10482/
• 关键词: 非線形Schrodinger方程式; 定在波解; 安定性; 変分問題; 線形化作用素のスペクトル; 漸近解析; 楕円型方程式; 基底状態の解構造; 非線形シュレディンガー方程式; スケール変換; 非線形楕円型方程式; 基底状態

今年度の最も主要な成果は,非線形項が臨界冪の場合に,調和ポテンシャルのようなポテンシャル項を伴う非線形シュレディンガー方程式の定在波解が安定であることを証明したことである.ポテンシャル項が伴わない場合には,20年ほど前にWeinsteinによって,臨界冪の場合は定在波解は爆発の意味で不安定になることが示されていた.したがって,臨界冪の場合は,今回の結果により,ポテンシャル項の有無が安定・不安定性の問題に大きく影響することがわかった.この事実は,Rose and Weinsteinによる数値実験で予想はされていたが,はじめて数学的にも解明できたことになる.また,昨年度の継続として,非一様媒質の光導波管を表す非線形シュレディンガー方程式についての考察をし,定在波解の安定性が,非一様媒質の屈折率を表す関数の,遠方での減衰オーダーや,原点での特異性のオーダーに依存する事を明らかにした.非一様媒質における非線形シュレディンガー方程式の定在波解の安定性の研究は,1980年代後半にAkhmediev, Jones, Grillakis, Shatah and Straussらによって3層媒質という特別な場合について分岐理論を用いて調べられていたが,一般的な媒質の場合に分岐理論を適用しようとすると,考え得る非線形構造に制限がかかってしまう.そこで,より一般的な媒質に関して調査した.この問題については,10月から1月にかけてフランスの南パリ大学に滞在し,その大学のスタッフと議論することで結果を昨年のものより発展させることができた.さらには,非線形楕円型方程式の解について,複素数値関数の解の指数減衰とそのシャープな減衰オーダーについて考察もした.このような減衰オーダーは今までの手法では,常微分的な方法に頼っていたため,取り扱う解が正値球対称であることが必要であった.今回は全く異なる方法によって,より一般的な解についても適用できるよう拡張した.

The main results of this year are that the nonlinear term is a critical power, and the harmonic term is associated with the nonlinear term. In the case of a critical power, it is determined that the wave solution is unstable because of the explosion of Weinstein 20 years ago. In the case of critical power, the result of this study is that the existence of stable and unstable terms has great influence on the stability and instability of the system. Rose and Weinstein, the number of people who want to do this, the number of people who want to do this, the number of people who want to do this. In the past year, the optical waveguide of non-homogeneous medium has been studied in the nonlinear equation, which determines the stability of the wave solution, the refractive index of non-homogeneous medium, the attenuation in the distance, and the dependence of the origin on the specificity. A study on the stability of wave solutions in nonlinear media was carried out in Akhmediev, Jones, Grillakis, Shatah and Strauss in the late 1980s. This is a very common medium for investigation. The problem is that from October to January, the university is still in existence, and the university is still in existence. In addition, the exponential decay of solutions of complex prime numbers is investigated in the solution of nonlinear equations. The method of ordinary differential equation is to obtain the solution of positive spherical equation. Now, we are going to use different methods to solve the problem.

项目成果

福泉麗佳, 太田雅人: "Stability of standing waves for nonlinear schrodinger eguations with potentials"Differential and Integral Eguations. Vol.16, No.1. 111-128 (2003)

Reika Fukuizumi，Masato Ota：“具有势的非线性薛定谔方程的驻波稳定性”微分方程和积分方程，第 16 卷，第 111-128 期（2003 年）。

福泉麗佳: "Stability of standing waves for nonlinear Schrodinger equations with potentials"Seminaire sur les Equations aux Derivees partielles,2003-2004.Ecole polytech.. (発表予定). (2004)

Reika Fukuizumi：“具有势能的非线性薛定谔方程的驻波稳定性”研讨会，2003-2004 年。高等理工学院..（待提交）。

福泉麗佳, 太田雅人: "Instability of standing waves for nonlinear schrodiager eguations with potentials"Differential and Integral Eguations. (発表予定). (2003)

Reika Fukuizumi，Masato Ota：“具有势的非线性薛迪亚格方程的驻波不稳定性”微分方程和积分方程（待提交）。

福泉麗佳, 太田雅人: "Instability of standing waves for nonlinear Schrodinger equations with potentials"Differential and Integral Equations. 16. 691-706 (2003)

Reika Fukuizumi、Masato Ota：“具有势能的非线性薛定谔方程的驻波不稳定性”微分方程和积分方程 16. 691-706 (2003)。

福泉麗佳: "Remarks on the stable standing waves for nonlinear Schrodinger equations with double power nonlinearity"Advances in Mathematical Sciences and Applications. 13. 549-564 (2003)

Reika Fukuizumi：“关于双幂非线性薛定谔方程的稳定驻波的评论”数学科学与应用进展 13. 549-564 (2003)。