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Extending the geometric theory of discrete Painleve equations - singularities, entropy and integrability

扩展离散 Painleve 方程的几何理论 - 奇点、熵和可积性

基本信息

批准号：
22KF0073
负责人：
WILLOX Ralph
金额：
$ 0.9万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2023
资助国家：
日本
起止时间：
2023-03-08 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

「特異点」というものは19世紀以来の物理学と数学の研究においてもっとも大きな役割を果たしてきた数学的概念である. 近年，自然現象を記述する微分方程式の特異点の構造に基づき，その物理的現象の分析を厳密に行うことが可能となる方程式が増えてきたものの, 数理モデルによく用いられる「遅延型微分方程式」の特異点構造についてはほとんどわかっておらず, そういった方程式の特異点と解との関係はまだ知られていない．本研究では，遅延型微分方程式の特異点構造を解析するために新しい幾何学的理論を開発すること，及びその幾何学的理論に基づき, 遅延型微分方程式の解の特徴を研究することが主な目的である.また，一世紀間以上の研究のおかげで，常微分方程式や偏微分方程式，並びに常差分方程式などの多くの数理モデルに対しては，モデルの「可積分性」がその方程式の特異点の性質に基づいて定義されるようになったものの，非線形偏差分方程式やそれと密接な関係にある関数方程式や遅延方微分方程式などに対しては，そのタイプの方程式における可積分性の決定的な特徴は未だに知られていない. 遅延型微分方程式などにも適用できる忠実な可積分性指標の開発はもう一つの重要な目的である.前者の研究目的については，初年度の2021年度には，A.Stokesが2020年に遅延型常微分方程式の特異点構造を解析するために提唱した数学的手法を用いて，いくつかの方程式の解析を開始し，方程式の一般解の複雑性を測る数学的指標を考案し始めた．また，後者の目標に関しては，２次元の写像の可積分性を判定するために導入された数学的道具の高次元の写像への拡張を研究し始めた．

"Special point" is the concept of physics and mathematics since the 19th century. In recent years, the structure of special points of differential equations describing natural phenomena is based on the analysis of physical phenomena, and the relationship between special points of differential equations and solutions of differential equations is known. This study is aimed at the development of new geometric theory and the study of the characteristics of solutions of differential equations of extended type. For more than a century of research, ordinary differential equations and partial differential equations have been studied, and ordinary difference equations have been studied. The integrality of the equation is determined by the characteristics of the equation. The development of integrality index is an important purpose of differential equation of delay type. A.Stokes, 2020. The analysis of differential equations with special points. The analysis of equations with special points. The mathematical indexes of complex solutions. The purpose of the latter is to determine the integrality of two-dimensional images and to introduce mathematical tools to study the expansion of high-dimensional images.