Integrability of nonlinear partial difference and functional equations: a singularity and entropy based approach

特異点は，数学と理論物理学の多くの分野にまたがる「可積分系」を研究する研究分野で非常に大きな役割を果たしてきた概念であり，特異点の構造が方程式の可積分性と深く関係することは可積分系に関する長年の研究から明らかになってきた事実である．その関係についての理解が偏差分方程式の場合に著しく不足している事実を踏まえ，非線形偏差分方程式及び関連する関数方程式の特異点の分類を行うこと，及び，方程式の特異点構造とその方程式の可積分性に関する性質との関係を明らかにすること，を本研究の第一目的とする．また，その研究から得た理解を踏まえて，非線形偏差分方程式または関数方程式における可積分性を数学的に定義し，方程式の可積分性の判定手段を提唱することをもう一つの重要な目標とする．令和4年度には上記の課題について以下の2つの重要な研究成果を挙げた．・フランスのパリ・サクレ大学のBasile Grammaticosとインドのベロール工業大学のThamizharasi Tamizhmaniとの共同研究で，有名な可積分な偏差分方程式の「変形型離散KdV方程式」の特異点を分類し，その特異点同士の非自明な相互作用を可積分なセル・オートマトンで記述することに成功した．この結果のおかげで偏差分方程式の特異点などの解析的な性質と可積分系の代数的な性質の間に根深い関係が見えてきた．・双有理写像の可積分性を測る「力学系次数」という指標と「写像の非自励化」という写像の重要な拡張方法の２つの無関係と思われる概念の間に，実はとても不思議な関係が存在することが数年前から知られている．その関係に基づく「full-deautonomisation」という可積分性を示すための手法が数年前に研究代表者を含む研究チームに提唱され，今回，長年適用外とされた写像のクラスにもこの手法を適用することに成功した．

特異点は，数学と理論物理学の多くの分野にまたがる「可積分系」を研究する研究分野で非常に大きな役割を果たしてきた概念であり，特異点の構造が方程式の可積分性と深く関係することは可積分系に関する長年の研究から明らかになってきた事実である．その関係についての理解が偏差分方程式の場合に著しく不足している事実を踏まえ，非線形偏差分方程式及び関連する関数方程式の特異点の分類を行うこと，及び，方程式の特異点構造とその方程式の可積分性に関する性質との関係を明らかにすること，を本研究の第一目的とする．また，その研究から得た理解を踏まえて，非線形偏差分方程式または関数方程式における可積分性を数学的に定義し，方程式の可積分性の判定手段を提唱することをもう一つの重要な目標とする．令和4年度には上記の課題について以下の2つの重要な研究成果を挙げた．・フランスのパリ・サクレ大学のBasile Grammaticosとインドのベロール工業大学のThamizharasi Tamizhmaniとの共同研究で，有名な可積分な偏差分方程式の「変形型離散KdV方程式」の特異点を分類し，その特異点同士の非自明な相互作用を可積分なセル・オートマトンで記述することに成功した．この結果のおかげで偏差分方程式の特異点などの解析的な性質と可積分系の代数的な性質の間に根深い関係が見えてきた．・双有理写像の可積分性を測る「力学系次数」という指標と「写像の非自励化」という写像の重要な拡張方法の２つの無関係と思われる概念の間に，実はとても不思議な関係が存在することが数年前から知られている．その関係に基づく「full-deautonomisation」という可積分性を示すための手法が数年前に研究代表者を含む研究チームに提唱され，今回，長年適用外とされた写像のクラスにもこの手法を適用することに成功した．