Geometry of Special Lagrangian equation

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本研究の目的は，カラビヤウ多様体と呼ばれる数理物理学などで頻繁に考察されるある種の多様体の中に与えられたラグランジュ部分多様体という次元がちょうど半分の部分多様体を，局所ハミルトン変形により特殊ラグランジュ部分多様体という体積が最小の部分多様体に変形できるか?という問題を完全非線形楕円型偏微分方程式の観点から調べることである．当初，2022年度は「どんなラグランジュ部分多様体も局所的には特殊ラグランジュ部分多様体に変形できるか?そのときのフェイズに制約はあるか?」ということを研究し，2023年度に「ラグランジュ部分多様体の近傍で固定したワインシュタインの環状近傍の半径を外部のカラビヤウ多様体とラグランジュ部分多様体の曲率を用いて具体的かつ定量的に評価する」という計画であったが，考えを進める過程で，まず先に2023年度に行う予定にしていた「ワインシュタインの環状近傍の半径の定量的評価」を先に行うべきであろうと思い，計画の順番が前後するが，今年度はそれ（ワインシュタインの環状近傍の半径の定量的評価）を行い．これに関しては概ね完了した．具体的には外の多様体と中の多様体の誘導距離の比の情報と，外の多様体の単射半径と曲率と中の部分多様体の第二基本形式の値を使って具体的に書ける値で（ワインシュタインの環状近傍の）半径が評価できることが分かった．また，この計算の過程で，部分的ではあるが「特殊ラグランジュPDEを外部のカラビヤウ多様体とラグランジュ部分多様体の情報を用いて具体的に書き下す」ということも行われた．