权益分类	功能权益	普通用户	{{item.name}}会员
{{category.name}}	{{benefitItem.name}}

Additive number theory in number fields

数域中的加法数论

基本信息

批准号：
22K13886
负责人：
甲斐亘
金额：
$ 2.25万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

数体の整数環において、有界な領域にある素元の個数を、小さな誤差内で予言する「三井の素数定理」（1957年）の精密なバージョンを証明しプレプリントにまとめた。Hecke L関数のSiegel零点も考慮して誤差の改善を図るほか応用を見据えて柔軟性を増してある。応用としては、Green-Tao-Ziegler による素数の満たす線型方程式の理論を、数体に拡張する仕事を考えている。Green-Tao-Zieglerの定理を数体に拡張するために、Green-Taoが過去に行なっていた複雑な組み合わせ論的計算を、数体でも遂行する作業に着手した。この計算が技術的には肝となる。自然数の場合と異なり、数体の文脈では、「数」と「イデアル」をきっちり区別する必要があり、同様の計算がこなせるかはアプリオリには大変不透明であるが、道筋は見えつつある。また、以下のような、ツールの点検とも言うべき作業を進めることができた。まず、Gowersノルムに関するvon Neumann定理が、値が高階でも成立することを確かめた。具体的には、同定理は整数のなすアーベル群Zに値をとるアフィン線型写像について定式化されるのが普通であるところ、一般の有限階数自由アーベル群Z^nでもしかるべき形で証明できることを確認した。また、Gowersノルムの逆定理も値がZで知られていたところ、Z^nの場合も簡単な帰着の議論で示せることを確かめた。さらに、自然数の集合Nでよく用いられるテクニックである篩法の一部が数体でも通用することを確認した。具体的には、乗法的モノイドNに同型かつ、素元の集合に全順序が入っており、この順序と整合するようなN値の乗法的なノルム写像をそなえたモノイドに対して、いわゆる「篩法の基本補題」が定式化できて成立する。

The integer ring of the number body is the number, the bounded field is the number of elements, and the error is within the small error. "Three "Well's prime number theorem" (1957) is a precise proof of the prime number theorem. Hecke L closes the Siegel zero point and considers the improvement of the error and the softness of the softness.応用としては, Green-Tao-Ziegler によるPrime Numbers の満たすLinear Equation のTheoryを, Number Body に拡张する事を考えている. Green-Tao-Ziegler's theoremをnumber bodyに拡张するために、Green-Taが Past に row なっていた雑な group み合わせ theory calculation を, number body でも execution する homework にした. It's a computing technology that's based on Toko's work. The situation of natural numbers is different, the context of numbers is different, and the difference between "number" and "イデアル" is necessary.あり, 同様のcalculation がこなせるかはアプリオには大変opaque であるが, 道sujiは见えつつある.また, the following のような, ツールの点検とも言うべき homework を入めることができた.まず, Gowers ノルムに关するvon Neumann theorem が, ががhigh-order でもestablished することを正かめた. Concrete には, the same theorem のなすアーベル集团Zに値をとるアフィン line type writing image について formalization されるのがpu通であるところ、General finite order free アーベル group Z^nでもしかるべきshaped でprove できることをconfirmation した.また、GowersノルムのConverse Theoremも値がZで知られていたところ、Z^nのoccasionも简単な帰の论でshowsせることを正かめた.さらに, the set of natural numbers Nでよく is confirmed by the いられるテクニックであるsieving method. Concrete には, multiplication of モノイドN に Same type かつ, element の set に full order がっており, この order と integration するような N The なノルム of つのmultiplication is written like をそなえたモノイドに対して, いわゆる「Basic complement problem of sieve method」がformalization できて is establishedする.