特殊ラグランジュ部分多様体と可積分系へのループ群論的アプローチ

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前年度に引き続き, 3次元特殊ラグランジュ部分多様体と可積分系の対応を, ループ群論の手法を用いて定式化することを目標とした. 複素3次元ユークリッド空間の特殊ラグランジュ部分多様体(特殊ラグランジュ錐)と, 代表的な可積分系の一種である戸田格子方程式の解は, 具体的な対応関係をもつ. 報告者はその対応関係を, 一般化されたワイエルシュトラス型表現公式とよばれる調和写像の構成法を介して, ループ群の観点より特徴付けた. この結果は論文"A cnstruction of special Lagrangian 3-folds via the generalized Weierstrass representation"にまとめ, 近く出版予定である. また, この対応は同時に, 或る二つの等質空間同士の対応として捉えることも出来得ると思われる. その相違について, 本年度はこれらの間の変換写像として定式化すべく考察を行い, 明示的な結果は得られていないものの, いくつかの進展を得た. この研究については今後も続けていく方針である.また, 複素4次元ユークリッド空間のある超曲面として定義される複素錐の特殊ラグランジュ錐についても上述の結果の類推が成り立つかどうか考察した. 複素ユークリッド空間でない, より一般のカラビーヤウ多様体上の特殊ラグランジュ部分多様体については未だあまり知られておらず, その例を与える試みとしてこの考察は意義があるものと思われる. これに関してまとまった結果は未だ得られていないが, 引き続き考察を続けていく。