作用素の順序と距離の研究

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順序と距離は、Hilbert 空間上の有界線形作用素を考えるうえで重要な二つの構造である。順序は、（半）正定値作用素全体を正錘とするベクトル順序を考える。距離は主として、作用素ノルムにより定まる距離を考える。作用素の距離や順序についての、線形構造に依拠しない研究には、興味深い話題が数多く存在する、本研究では、そのような話題に関連する問題を解決することを通じて、作用素や作用素環について多角的に理解することを目指す。本研究の研究テーマは大きく三部に分かれる。それぞれについて、研究実績を以下にまとめる。(I) 自己共役作用素の集合に対する順序を保つ写像、凸写像、および作用素領域上の正則写像の関係について。その Loewner 理論との比較、作用素平均などの理論への応用について：この話題については、研究の大きな進展は見られなかった。しかし、(III)で述べる時空間幾何学に関する研究はこの話題と関連があるため、その方面からの順序に関する研究の可能性を探っている。(II) 射影作用素の順序構造と作用素環の環同型との対応、von Neumann の連続幾何学をもとにしたその抽象化について：この話題と関連した問題の一つ「II無限型 von Neumann 環の局所可測作用素環の環同型は実*同型に相似か」を肯定的に解決し、成果をプレプリントとして公表した。(III) 作用素の順序・距離構造と数理物理、情報理論の接点について。特に、量子力学や量子情報、相対論に関連した諸問題の研究：この話題に関しては、スロベニア・リュブリャナ大学の Peter Semrl 氏との共同研究が進行中である。特に、射影空間の距離構造や、時空間幾何学の基本定理に関する研究に進展があった。これらの成果は令和5年度中に発表できる見込みである。