Operator algebras and preserver problems

私は主に，作用素環に関係する保存問題について研究してきた．すなわち，あるクラスの作用素環を考え，そのあいだの写像で特定の構造を保つようなものの一般形についての研究を行ってきた．以下，2020年度に発表した論文・プレプリント3本について説明する．G.P. Geher 氏（イギリス，Reading 大学）との共著論文では，複素 Hilbert 空間Hの射影空間P(H)が持つ距離構造について調べた．固定した距離dに対し，P(H)からそれ自身への全単射で，二項関係「距離がdである」を保つものの一般形を与えよ，という問題を考える．これは，Wigner のユニタリ反ユニタリ定理およびその Uhlhorn による一般化に動機づけられる自然な問題である．我々は，この問題の未解決であった場合に対する完全な回答を与えた．P. Semrl 氏（スロベニア，Ljubljana 大学）との共著論文では，複素 Hilbert 空間上の有界線形自己共役作用素の順序同型について研究した．二つの作用素領域に対し，そのあいだの局所順序同型全体のクラスと，作用素上半平面上の双正則写像のなすクラスが一致することを導いた．この定理は，作用素単調関数を Pick 関数により特徴づける Loewner の定理の類似物と考えられる．さらに，局所順序同型の式による具体的な表示も与え，いくつかの性質を導いた．また，単著論文として，von Neumann 環の射影束の束構造に対する同型写像を調べ，束同型と局所可測作用素環の環同型のあいだに対応関係が成り立つことを導いた．これは von Neumann による II_1型環に対する結果の拡張にあたる．I無限型およびIII型 von Neumann 環に対しては，局所可測作用素環の任意の環同型が実*同型と相似であることを示した．

私は主に，作用素環に関係する保存問題について研究してきた．すなわち，あるクラスの作用素環を考え，そのあいだの写像で特定の構造を保つようなものの一般形についての研究を行ってきた．以下，2020年度に発表した論文・プレプリント3本について説明する．G.P. Geher 氏（イギリス，Reading 大学）との共著論文では，複素 Hilbert 空間Hの射影空間P(H)が持つ距離構造について調べた．固定した距離dに対し，P(H)からそれ自身への全単射で，二項関係「距離がdである」を保つものの一般形を与えよ，という問題を考える．これは，Wigner のユニタリ反ユニタリ定理およびその Uhlhorn による一般化に動機づけられる自然な問題である．我々は，この問題の未解決であった場合に対する完全な回答を与えた．P. Semrl 氏（スロベニア，Ljubljana 大学）との共著論文では，複素 Hilbert 空間上の有界線形自己共役作用素の順序同型について研究した．二つの作用素領域に対し，そのあいだの局所順序同型全体のクラスと，作用素上半平面上の双正則写像のなすクラスが一致することを導いた．この定理は，作用素単調関数を Pick 関数により特徴づける Loewner の定理の類似物と考えられる．さらに，局所順序同型の式による具体的な表示も与え，いくつかの性質を導いた．また，単著論文として，von Neumann 環の射影束の束構造に対する同型写像を調べ，束同型と局所可測作用素環の環同型のあいだに対応関係が成り立つことを導いた．これは von Neumann による II_1型環に対する結果の拡張にあたる．I無限型およびIII型 von Neumann 環に対しては，局所可測作用素環の任意の環同型が実*同型と相似であることを示した．