高効率な並列回路解析手法の研究

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本研究では主に二つのテーマで研究を行なった。第一に強制疎化LU分解法による並列回路解析の研究を行なった。強制疎化LU分解法は直接法との関連が深いため、その効率的な実装の研究のためにはまず直接法の並列実装の可能性と限界とを明らかにする必要がある。そこで、不規則疎行列問題に対して現在定石とされるNested dissectionを用いて並列計算機AP1000+上にLU分解法を実装、評価した。その結果、線形解法部分の速度向上率に対し問題規模によらず3から4倍という極めて厳しい限界があることが明らかとなった。この原因はNested dissectionにおいて二分木をさかのぼる際に並列性の低くなる根の付近の計算量が問題規模によらず全体の一定の割合を占めるため、並列性に限界が生じることであることがわかった。この問題を克服するには根の付近において比較的小規模の密に近い行列を効率良く並列に処理しなければならない。これに関し小規模密行列の効率的な並列実装の研究を現在進めている。第二に、制約条件を用いた回路設計支援や回路パラメタの最適化などの際に解く必要のなる大規模非線形方程式について研究を行なった。このような問題では条件が極度に悪化したりランクが落ちたりすることがあり、その場合ニュートン法内で大規模疎行列を係数とする最小自乗最小ノルム方程式の解を求める必要がある。通常はこのような問題には特異値分解またはQR分解に基づく方法が用いられているが、これらの解法は疎行列性を活用しにくく大規模問題ではかなり遅い。これに対し本研究ではLU分解に基づく方法について研究した。その結果、LU分解は疎行列性をよく保存するため高速であり、また密行列と違って疎行列では致命的な誤差の拡大が生じないことが分かった。またこの方法を実装して大規模問題を解いて既存の方法と比較することにより、解法の有効性を実証した。