確率論とスペクトル理論の融合的研究(ランダム行列とランダムウォークへの応用)

概率论和谱论的融合研究（应用于随机矩阵和随机游走）

• 批准号: 11740056
• 负责人: 白井 朋之
• 金额: $ 1.02万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1999
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1999 至 2000
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-11740056/
• 关键词: ランダム行列; フェルミオン; ランダム場; ラプラシアン; アーベル被覆グラフ; 磁場つきシュレーディンガー作用素

ランダム行列の固有値のなすランダム場とその一般化についての研究と,周期的な構造を持つ無限グラフ上の離散的ラプラシアンと磁場付きシュレーディンガー作用素とスペクトルについての研究を主に行なった.1)ガウス型ユニタリアンサンブルのランダムな固有値を記述するランダム場(無限粒子系)についての性質を調べた.これは物理的にはフェルミオンを表現するものであるが,これをラプラス変換の立場から一般化することによって,ボソンの記述までできるクラスに拡張した.また,この副産物として,行列式の拡張とそれに関する組み合わせ論的な新たな予想を得た.また,フェルミオンの場合については,この系を平衡状態とする時間発展を記述する離散空間上のグラウバーダイナミクスの研究を行なった.特にこの系は,フリップのレートが無限の領域に依存するため,一般にはダイナミクスの構成もそれほど自明ではないが,この場の特殊な性質を用いることによって構成に成功した.また,エルゴード的な性質,特にLog-Sobolev不等式の証明を行なった.2)無限アーベル群が作用するような周期的な格子上の離散的ラプラシアンを考え,そのスペクトルについての研究をした.アーベル群が作用する設定の下では,ラプラシアンは直積分によって分解でき,その因子は有限グラフ上の磁場付き離散的シュレーディンガー作用素に対応する.この性質を用いて,一筆描きができるグラフにおいては,ラプラシアンのスペクトルが[0,2]になるという予想を証明した.

我们主要研究了随机矩阵及其概括的随机磁场及其概括，以及具有周期性结构的无限图表上的离散拉普拉奇人，Schrodinger Operators and Spectra.1）我们研究了随机磁场（Infinite粒子系统）的性质，这些特性描述了高斯无体性无体现的随机特征值。这在物理上代表了费米，但是通过从拉普拉斯变换的角度概括这一点，我们将其扩展到了一个可以描述玻色子的类。此外，作为这种副产品，我们获得了有关决定因素及其组合理论的新组合预测。此外，对于费米子（Fermions），离散空间上的Glauber动力学描述了该系统的时间演变为平衡状态。我们对X进行了一项研究。特别是，该系统通常并不那么明显，因为翻转速率取决于无限区域，动力学结构并不那么明显，但是它是通过使用该领域的特殊特性成功构建的。我们还展示了沿阵行的特性，尤其是log-sobolev不等式。 2）在无限亚伯组起作用的周期性晶格上考虑离散的拉普拉斯人，并研究频谱的光谱。在ABEL组起作用的设置下，可以通过直接积分分解Laplacians，其因子对应于有限图上具有磁场的离散的Schrodinger操作员。使用此属性，我们证明了可以在一个行程中绘制的图表中，拉普拉斯人的光谱是[0,2]。

项目成果

T.Shirai: "Asymptotic behavior of the transition probability of a simple random walk on a line graph"J.Math.Soc.Japan. 52. 99-108 (2000)

T.Shirai：“折线图上简单随机游走的转移概率的渐近行为”J.Math.Soc.Japan。

Yu.Higuchi and T.Shirai: "A remark on the spectrum of magnetic Laplacian on a graph"Yokohama Math.J.(special issue). 47. 129-142 (1999)

Yu.Higuchi 和 T.Shirai：“关于图上磁性拉普拉斯频谱的评论”Yokohama Math.J.（特刊）。

Yu.Higuchi and T.Shirai: "The spectrum of magnetic Schrodinger operators on a graph with periodic structure"J.Of Funct.Anal.. 169. 456-480 (1999)

Yu.Higuchi 和 T.Shirai：“具有周期结构的图上的磁薛定谔算子的谱”J.Of Funct.Anal.. 169. 456-480 (1999)