確率論のスペクトル論的研究

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ランダム行列(GUE)の固有値のなすランダム場のスケーリング極限としてあらわれるランダム場の一般化についての研究と,そのランダム場を可逆測度とする時間発展の研究を主に行なった.局所的トレース族に属する非負定値積分作用素のスペクトル半径が1以下のとき,フレドホルム行列式をラプラス変換とするランダム場が一意的に存在することが知られている.特別な場合はフェルミオンを記述するランダム場となり,フェルミオンランダム場と呼ばれる.特に底空間がZ^dなどの離散空間の場合には自然に上の条件を満たすことが示され,そのランダム場はある{0,1}^<Z^d>上の確率測度と同一視される.さらに積分作用素が畳み込み作用素であるときには,Z^dの空間的な平行移動に関して不変な確率測度が得られる.この確率測度に関して,混合性,エントロピー,ギブス性などのエルゴード論的性質を主に研究した.また,この確率測度を可逆測度とする時間発展(グラウバーダイナミクス)の構成も行なった.この構成のためには,各サイトにおける0と1のフリップ率が必然的に長距離相関を持つものを考える必要がある.長距離相関を持つ場合は短距離相関のフリップ率を持つ時間発展の構成に比べるとやさしくないが,フェルミオンランダム場の構造を用いてその証明を行なった.また構成されたグラウバーダイナミクスに対して,積分作用素が恒等作用素の定数倍に近いという条件のもと,時間的エルゴード性を示す対数ソボレフ不等式も証明した.