一般ヤコビ多様体のコンパクト化とその幾何学

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本年度は、主に1.対数代数幾何学の観点から、完備半安定曲線の族の一般ヤコビ多様体のコンパクト化、及び、2.アーベル曲面から4次元非特異射影トーリック多様体への埋め込み、について研究した。1.対数構造の理論の観点から、連結完備半安定曲線の一般ヤコビ多様体のコンパクト化を代数的対数空間として構成した。この代数対数空間は代数空間を一般化したものである。ここで構成したコンパクト化は、もはや代数空間でも表現できないが、群構造を持っている点が優れた点であり、画期的な点である。また、従来のコンパクト化も、この代数的対数空間のコンパクト化の部分層を表現する対数スキームとして自然に構成される。2。アーベル曲面を4次元完備非特異トーリック多様体への埋め込みに関する研究を行った。この埋め込みの存在が証明されると、セールの構成法により、4次元トーリック多様体上の直既約な階数2のベクトル束が定義できる。このベクトル束は、4次元射影空間上のホロックス・マンフォード束の一般化であり、興味深いベクトル束であると期待される。サンカラン氏の仕事(1999年)により、アーベル曲面をピカール数が2以下の4次元射影的トーリック多様体への(全非退化な)埋め込み可能性が研究された。しかし、彼が埋め込みを構成した例については間違いがあるため、アーベル曲面からの全非退化な埋めこみが存在する4次元非特異トーリック多様体は、射影空間やそれらの直積の場合等のよく知られている例しかない。4次元トーリックデル・ペッツォ多様体の場合に例を構成した。具体的には、(1,5)型の偏極アーベル多様体は、双楕円曲面(完備線形系による射が2重被覆となるアーベル曲面)でなければ、上述のトーリック多様体に埋め込めることを示した。