一般ヤコビ多様体のコンパクト化とその幾何

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本年度は,主に1.対数代数幾何学の観点から,射影半安定多様体の一般ヤコビ多様体のコンパクト化、および,複素対数アーベル多様体論、2.トロピカル超曲面と射影トーリック多様体の退化の関係,に関する研究を行なった.複素対数アーベル多様体論は,加藤和也氏(京大),中山能力氏(東工大)との共同研究である.1.昨年度は,対数点上の射影半安定多様体に対して,対数一般ヤコビ多様体を構成した.これは,後述する対数アーベル多様体の例である.今年度はさらにアルチン局所環上でも同様に構成できることを示した.これは,対数構造に付随する主束を用いて証明した.現在,完備局所環上の構成に必要な基礎研究を行っている.ここ数年来,対数アーベル多様体論の共同研究を行っている.本年度は,複素対数アーベル多様体論をまとめることができた.重み1の偏極可能な対数ホッジ構造と対数アーベル多様体との対応を証明し,加藤・臼井氏による対数ホッジ構造の分類空間の結果を用いて,対数アーベル多様体のモジュライ空間を構成した.このモジュライ空間はアーベル多様体のモジュライ空間のトロイダルコンパクト化(マンフォードコンパクト化とも呼ばれる)だが,対数アーベル多様体のモジュライ関手を表現することがめざましい結果である.2.トロピカル幾何は,曲線の数え上げや実代数多様体の研究に応用されている,凸体の幾何に関係した幾何である.まず,代数的トーラス内の非退化な超曲面に伴うトロピカル超曲面が,その超曲面から定義される.ある射影トーリック多様体の自然な退化を記述することがわかった.この結果をもとに,射影平面3次曲線,4次曲線,5次曲線に伴う射影平面の退化を,計算機を用いて,多くの例を計算した.