リジッドコホモロジーの論の研究とその数論幾何学への応用

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平成13年度の研究では、正標数代数多様体の完備超被覆に関するrigid cohomologyのcohomology的降下理論を完成させた。証明の鍵は、universally cohomological descentという概念の導入と2元からなるイデアルでのblowing-upに対する複体のacyclicityの計算である。cohomology的降下理論から超被覆に関するrigid cohomologyのスペクトル系列が得られるので、P.Berthelotによる非特異代数多様体のrigid cohomologyの有限性定理と合わせると、一般の分離有限型代数多様体のrigid cohomologyの有限性が証明される。また、rigid cohomology上のFrobenius作用の同型性が導かれる。一般の分離有限型代数多様体の定数係数rigid cohomologyの有限性は、E..Klonneにより既に知られているが、cohomology的降下を用いる方法はより関手的であり見通しがよくなった。rigid cohomologyは、正標数代数多様体の有限性、Poincare双対性などを満たす良いcohomology理論と思われている。cohomology的降下は、rigid cohomologyが良いcohomology論であることを示す重要なステップである。特に、完備超被覆に対する結果は、alterationの存在から、cohomologyの様々な性質を非特異代数多様体の場合に帰着する事を可能にするので、応用性が広い結果である。例えば、有限体上の分離有限型代数多様体に対して、l進理論と同様の重みの理論が成り立つことが証明できる。この研究結果により、rigid cohomologyの性質の研究が大きく前進したと言える。