P進コホモロジーにおける整構造の研究

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Dworkが1960年代に導入したp進線形微分方程式の解の対数的増大度に関して、昨年度に引き続き、Bruno Chiarellotto氏(パドバ大学)と共同で幾つかの結果を得た。DworkやRobbaらの先行する研究との最大の相違点は、解の対数的増大度のみを考えるのでなく、解空間に対数的増大度による階層を導入して、その性質を調べることにある。また、これは代数曲線上のF-アイソクリスタルの微分構造からp進局所系の整構造であるFrobenius構造が復元できるかという問題としてとらえることが出来る。昨年度の研究で、少なくとも階数2の場合には、解のTaylor係数の対数的増大度からFrobeniusスロープが決定できることが証明できた。今年度の研究では、階数の一般化へ向けた結果を得た。具体的には、局所体(環)上F-アイソクリスタルに対し1.Dworkが提出した問題の定式化---対数的増大度の特殊化予想2.一般・特殊点において、対数的増大層はFrobeniusのスロープ層に層として含まれること3.一般点における対数的増大層とFrobeniusのスロープ層が一致する必要十分条件4.A.GrothendieckとN.KatzによるFrobenius構造の特殊化定理の別証明等を得た。Frobenius方程式を満たすp進単位円盤上の解析関数の対数的増大度の可能性から2が証明される。特殊な形のFrobenius方程式については対数的増大度が決定でき、有界F-アイソクリスタルFrobenius層の分裂定理と合わせて3を得る。また、この精密な評価から、階数2の場合は対数的増大層とFrobeniusのスロープ層は有界の場合を除き一致する。