Study of arithmetic gometry by p-adic methods

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2019年度以来の研究を続けていたK.S.Kedlayaが提起した正標数代数多様体の過収束F-アイソクリスタルに対する「最小スロープ予想」について、局所理論の大域化における議論を明確化させるために論文を一部修正した。代数曲線上の過収束F-アイソクリスタルのPBQ性の局所-大域間の適合性を利用するもので、p進線形微分方程式への応用が期待される性質である。階数が偶数の代数体のmod 2-Galois表現と相互律に関する研究を行った。Cebotarevの稠密定理により、Galois表現はほとんど全ての有限素点におけるFrobeniusにより決定できることがわかっているが、Frobeniusのトレースに関する合同式(相互律と呼ぶ)による決定可能性について考察した。具体的には、(i) 与えられた代数体上の代数方程式の各素点での還元における解の個数による相互律、(ii) 与えられた代数体上の代数曲線の各素点での還元における有理点の個数による相互律、の2つの場合に考察した。(i)については、奇素数pに対して表現の階数がp-1について、p次の代数方程式と相互律が成り立つ場合にmod 2 Galois表現が決定できることを示した。また、(ii)については表現におけるGalois群の像が十分に大きいときに、Galois表現の決定問題が可能となると思われ、引き続き研究を進めている。コロナ禍のため当初予定していた海外での講演は2022年4月に延期となった。本科研費の支援で2021年7月に「第20回広島仙台整数論集会」をオンラインで開催した。若手整数論・数論幾何学研究者の登竜門的な研究集会で、非常に活発な研究発表があった。