定曲率空間内の曲面に対する無限次元群作用の研究

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前年度に引き続きBacklund変換の変換群論的把握に向けて無限次元リー群論の観点から研究を行った。また対称空間ではない等質空間内の曲面・調和写像の構成についても研究を行った。(1)Chaohao Gu氏(谷超豪),Hesheng Hu氏(胡和生)(中国・Fudan University)と共同研究を行い以下の成果を得た。Liouville方程式・cosh-Gordon方程式に対するBacklund変換を与えた。さらにこれらのBacklund変換を負定値計量をもつ3次元空間(ミンコフスキー空間)内の時間的曲面間の空間的線叢および時間的線叢として幾何学的に定義できることを示した。上述のBacklund変換を「フレームに対する変換」として再定式化しループ群論的解釈を与えた。2)J.Dorfmeister, F.Pedit, H.Wuによる「リーマン面からコンパクト・リーマン対称空間への対称空間」に対するループ群論的WeierstraB構成法(非線型ダランベール公式)を対称ではない標準簡約等質空間(naturally reductive homogeneous space)への拡張を研究した。その成果として実Stiefel多様体への水平的調和写像に対しWeierstraB構成法が適用できることがわかった。この成果は3次元定曲率空間内の平均曲率一定曲面の構成に応用できる。(3)3次元ユークリッド空間内の極小曲面に対するWeierstraB-Enneper表現公式を3次元可解リー群に対し拡張した。この拡張版の公式は國分雅敏氏による「3次元双曲空間内の極小曲面に対する表現公式」をも含む。(4)実特殊線型群SL(2,R)内の平均曲率一定曲面のガウス写像の調和性を研究した。とくに平均曲率一定曲面でガウス写像が鉛直調和(vertically harmonic)である曲面を分類・決定した。さらに平均曲率一定曲面でガウス写像が調和となるものを分類・決定した。(5)Mohamed Belkhelfa氏,Franki Dillen氏(KU Leuven,ベルギー)と共同研究を行い3次元標準簡約等質空間(naturally reductive homogeneous space)内の第二基本形式が平行な曲面を分類・決定した。