フィンスラー多様体への調和写像とハーツホーン予想の証明

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1970年にR.Hartshorneは「豊富な接束をもつ非特異既約射影多様体は射影空間に同型である」という予想を提出し,この予想は1979年に森重文氏により,代数幾何学的手法を用いて証明された.一方,1975年に小林昭七氏は「コンパクト複素多様体上の正則ベクトル束が豊富であることと,その双対束が負曲率をもつ擬凸な複素フィンスラー計量を許容することは同値である」ことを証明した.本研究の目標は,この小林氏の結果をもとに,コンパクト複素多様体に対するハーツホーン予想を,フィンスラー幾何学のカテゴリーで,微分幾何学的手法により証明することである.この問題に関して,昨年度までの研究において,閉リーマン面から複素フィンスラー多様体への微分可能な写像に対して,閉リーマン面からリーマン多様体への写像に対するエネルギーの一般化となる自然なエネルギー汎関数の定義を与え,とくにリーマン球(種数0の閉リーマン面)から正曲率をもつ弱ケーラー複素フィンスラー多様体への,エネルギー最小な調和写像は正則あるいは反正則写像となることを証明した.本年度の研究においては,更に1.このエネルギー汎関数の臨界点としてえられる調和写像が一意接続性をもつこと,及び2.複素フィンスラー計量を利用して,豊富な正則接束をもつコンパクト複素多様体の2次元ベッチ数が1であることを証明した.これらの結果により,双対接束が負曲率かつ擬凸な複素フィンスラー計量を許容するコンパクト複素多様体に対して,ハーツホーン予想の証明のキーポイントである,非自明な有理曲線の存在を証明する準備が整ったことになる.現在研究は,リーマン球からコンパクト複素フィンスラー多様体へのエネルギー最小な調和写像の存在証明へと継続され,摂動されたエネルギー汎関数の最小列の収束を研究中である.