対称性をもつ非圧縮粘性流の構成とその安定性の研究

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代表者宮川は3次元外部領域で非定常流を考察し,多項式ウェイトを伴うノルムの時間減衰について一般論としてはほぼ最良の結果を得た(現在投稿中)。この作業は対称生をもつ流れを構成する際にあらかじめ必要なものである。ここで得られた評価は2次元流で得た評価の3次元への形式的拡張になっている。従って,この結果を超える減衰性をもつ解を得るには,流れに対し何らかの対称生の仮定が必要と思われる。この結果を超える減衰性をもつ解を得るには,流れに対し何らかの対称生の仮定が必要と思われる。この予想を検証するために,現在対象な流れの減衰率を計算しているが,自由度が増えたために2次元の場合と比較して計算量が飛躍的に増大し,計算自身も著しく複雑になった。しかし指導原理は2次元の場合と同様だから,本年の内には部分的にしろまとまった結果を発表できる見込みである。これと並行して,次の研究対象である半空間での流れの対称生を考察する第一歩として,問題の定式化に不可欠なHelmholtzの分解定理の完全な証明を与えた。半空間においてこの定理は古くから知られており,代表者も過去にそれを利用したことはあるが,完全な証明を記載した文献がなく,このため論文執筆時に不自由を感じていた。代表者はFourier解析と関数空間論の初等的知識のみで理解可能な証明を与えることに成功した。この仕事はすでに査読付きの雑誌に掲載受理されており,2008年内に出版される予定である。分担者福本は,核内に流れを伴う渦糸の漸近展開項を制御する方程式を探し,それが3次元弾性棒の方程式と等価であることを発見した。さらにその等価性の由来を力学系の変分原理に求め,回転群SO(3)の元を変数とする汎関数の変分学的考察によりこの等価性を証明した。また,これと並行してレーザーと物質の相互作用に起因する点状の欠陥が渦糸群に与える影響を実験的に考察し,多様な渦のパターンが現れることを示した。この現象の数理的解釈が今後の課題である。