群多元環とその根基の構造に関する研究

有限群の正標数の体上の群多元環の構造についての研究の観点から、その根基の巾零指数と群の構造との関連について考察することを当面の目標とした。体Kの標数をpとし、群Gのシローp部分群の位数をP^aとする。群多元環KGの根基の巾零指数をt(G)で表すことにする。Gがp可解群のとき、t(G)はp^a以下であることが知られている。さらに、p^<a-1>≦t(G)≦p^aをみたす群Gの構造は完全に決定されている。そこで、不等式p^<a-2>≦t(G)<p^<a-1>をみたす群Gを決定するべく研究を行った。Gがp群の場合、この研究を遂行するためには、指数p^<a-2>の群をすべて決定する必要があるが、これについては、Millerによる分類があり、そのような群の同型類の個数が得られている。このMillerの論法を精密化することにより、指数p^<a-2>のp群すべてについて、それらの生成元と基本関係による表示を与えることができた。この結果を用いることにより、Gがp群の場合には、不等式p^<a-2>≦t(G)<p^<a-1>をみたす群を完全に決定することができた。さらに、この問題をp可解群の場合に解決するべく研究中であるが、いくつかの例外的な群をのぞいて、ほぼ解決の見通しが立つ状況になった。さらに、この研究の過程において、永年、研究者の間で予想されていた不等式t(G)≦t(P)(Gはp可解群で、PはGのシローp部分群)に対する反例を見つけることができた。このことは、この方面の研究者の注目を集めると思われる。この反例が特異なものなのかどうかについて、さらに上記不等式t(G)≦t(P)をみたす群の特徴付けについて、研究を深める必要があると考えている。

有限群の正標数の体上の群多元環の構造についての研究の観点から、その根基の巾零指数と群の構造との関連について考察することを当面の目標とした。体Kの標数をpとし、群Gのシローp部分群の位数をP^aとする。群多元環KGの根基の巾零指数をt(G)で表すことにする。Gがp可解群のとき、t(G)はp^a以下であることが知られている。さらに、p^<a-1>≦t(G)≦p^aをみたす群Gの構造は完全に決定されている。そこで、不等式p^<a-2>≦t(G)<p^<a-1>をみたす群Gを決定するべく研究を行った。Gがp群の場合、この研究を遂行するためには、指数p^<a-2>の群をすべて決定する必要があるが、これについては、Millerによる分類があり、そのような群の同型類の個数が得られている。このMillerの論法を精密化することにより、指数p^<a-2>のp群すべてについて、それらの生成元と基本関係による表示を与えることができた。この結果を用いることにより、Gがp群の場合には、不等式p^<a-2>≦t(G)<p^<a-1>をみたす群を完全に決定することができた。さらに、この問題をp可解群の場合に解決するべく研究中であるが、いくつかの例外的な群をのぞいて、ほぼ解決の見通しが立つ状況になった。さらに、この研究の過程において、永年、研究者の間で予想されていた不等式t(G)≦t(P)(Gはp可解群で、PはGのシローp部分群)に対する反例を見つけることができた。このことは、この方面の研究者の注目を集めると思われる。この反例が特異なものなのかどうかについて、さらに上記不等式t(G)≦t(P)をみたす群の特徴付けについて、研究を深める必要があると考えている。