弾性曲線の研究(熱方程式による分析)

弹性曲线研究（使用热方程分析）

基本信息

批准号：
05640108
负责人：
小磯憲史
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1993
资助国家：
日本
起止时间：
1993 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-05640108/
关键词：
弾性曲線放物型方程式

项目摘要

粘性が無限大の液体中における1次元弾性体の運動をモデルとした偏微分方程式を数学的に解明することが本研究の目的であった。前年度の研究により、ユークリッド空間においては方程式の解が実際に存在し、しかも弾性曲線(定常解)に収束することが判明していた。本年度の研究において、その結果を一般のリーマン多様体に拡張することができた。物理的には、束縛条件下における運動の解析ができたことになる。得られた結果は次のとおりである。定理:実解析的コンパクトリーマン多様体において、上記方程式の解は無限時間存在し、しかも弾性曲線に収束する。実解析的でなくとも、弾性曲線に収束する部分列は存在する。このことは、閉弾性曲線の存在をも主張している。そのこと自体は既に知られていたことであるが、任意の閉曲線から出発して、弾性エネルギーが減少するように自然に変形することによって閉弾性曲線が得られるということが保証されたという点で意義がある。なお、証明における重要な節点は解の短時間存在と長時間存在であった。短時間存在については完全に一般的かつ解析的に示すことができた。従って、類似の方程式を研究するときの大きな手がかりを得たことになる。長時間存在の証明では測地線からの分離が中心課題であったが、そこで用いた方法も今後の研究に一般化が期待できる。

这项研究的目的是在数学上阐明了以无限粘度的液体中的一维弹性体运动为模型的偏微分方程。上一年的研究表明，方程解决方案实际上存在于欧几里得空间中，并且它们会融合到弹性曲线（稳态溶液）。在今年的研究中，结果可以扩展到普通的Riemann歧管。从身体上讲，可以在约束条件下分析运动。所获得的结果如下：定理：在真实的分析紧凑型Riemann歧管中，上述方程的解决方案存在无限的时间，并收敛到弹性曲线。即使不是实际的分析，也存在弹性曲线上的子序列。这也断言了封闭的弹性曲线的存在。这已经知道，但是从任何封闭的曲线开始，但它具有重要意义，可以保证可以通过自然变形来获得封闭的弹性曲线，从而可以减少弹性能。请注意，证明的重要节点是解决方案的短期和长期存在。短期存在可以完全概括和分析。因此，在研究相似方程时，我们获得了很棒的线索。长期存在的证据的核心问题是与测地线分离，但是可以预期在未来的研究中使用的方法可以概括。