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弾性曲線の波動方程式とプレート方程式の特異摂動

弹性曲线波动方程和板方程的奇异摄动

基本信息

批准号：
16654015
负责人：
小磯憲史
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
2004
资助国家：
日本
起止时间：
2004 至 2006
项目状态：
已结题

项目摘要

3次元Euclid空間において,十分離れた2つの閉曲線を繋ぐ極小曲面は存在しないことがCone Thcoremとして知られている[U.Dierkes.S.Hildebrandt.A.Kuster.O.Wblhrab: Minimal surfaces I, p.381].前年度までの研究において,その結果を任意個数の閉曲線の場合まで拡張した.今年度の研究においては,その結果をさらに一般次元の0以下の定曲率空間の場合に拡張した.得られた結果は以下の通りである.定理1.M^<n+1>を'n+1次元Euclid空間,またはn+1次元単位球にPoincare計量を入れたものとする.任意のλ>0に対してあるμ>0が存在して次を満たす:領域D_+:.x^0>λ√<Σ^n_<i=1>(x^i)^2>,D_-:x^0<-μ√<Σ^n_<i=1>(x^i)^2>内にそれぞれn-1次元コンパクト多様体S_+,S_-が与えられたとき,S_+∪S_-を境界とするコンパクトな極小超曲面はD_+∪D_-に含まれ,特に連結ではない.定理2.M^<n+1>をn+1次元の0以下の定曲率空間とする.任意の自然数Nに対して,次の性質を持つ正の実数K_Nが存在する:空間MにN個の点{P_i}があり,2点間の距離がすべてd以上であるとする.また,各P_iを中心とする半径K_<Nd>以下の距離球B_iの中にn-1次元コンパクト多様体Γ_iがあるとする.そのとき,∪Γ_iを境界とするコンパクトな極小超曲面は∪B_iに含まれる.証明は回転懸垂超曲面を常微分方程式で記述し,その解の評価を与えることによっておこなう.

3-dimensional Euclid space, very far away from 2 closed curves, very minimal surfaces exist [U.Dierkes.S.Hildebrandt.A.Kuster.O.Wblhrab: Minimal surfaces I, p.381]. In the previous year, the results of the study were extended to any number of closed curves. This year's research results show that the general dimension of a constant curvature space below 0 is not sufficient. The result is the following. Theorem 1. M ^<n+1>'n+1-dimensional Euclid space, n+1-dimensional single sphere For any λ>0, λ√<Σ^n_<i=1>(x^i)^2>,D_-:x^0 <-μ√<Σ ^n_<i = 1>(x ^i)^2>, S_+, S_-, S_-, S_+, S_-, S_+, S_-, S_-, S_+, S_+, S_-, S_+, S_-,S_+, S Theorem 2. M ^<n+1> n+1-dimensional spaces with constant curvature below 0. For any natural number N, the number K_N exists: N points {P_i} in space M, and the distance between two points is greater than d. The distance between the center of each P_i and the radius K_<Nd>below the center of each P_i is n-1 dimensional. As a matter of fact, the minimal hypersurface in the realm of ∪ Gamma_i is contained in ∪B_i. It is proved that the ordinary differential equation of the inverted pendent hypersurface is described, and the solution is evaluated.