非線型弾性波動方程式

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昨年度において,ユークリッド空間における弾性波動方程式を解析し,その解の存在と抵抗無限大の場合の解の挙動をほぼ当初の予定通りに解明することができた.本年度においては引き続きその結果をリーマン多様体上に拡張することを試み,実際に成功した.以上の結果は当初から期待されたものであるが,証明の方法は初年度の方法の単なる拡張ではない.結局のところ,幾何学的方法よりも解析学的方法が主となった.しかしながら,解析学的な解の評価をするための方程式の熱方程式への摂動において,幾何学的等式条件を保つということが本質的であった.即ち,1次元プレート方程式の熱方程式への摂動において,非伸縮条件を保つ変形を考え,それに適合する解の評価をリーマン幾何学を用いて行うことによって,解の存在や収束に関する解析学的評価を得ることができた.この知見は3次元リーマン多様体における渦糸の方程式の解明においても有効であることが期待される.これらの成果は現在論文として準備中である.主結果:・1)リーマン多様体上での弾性波動方程式の初期値問題解は短時間ならば時間双方向に存在する.・2)その解は,任意時間において,抵抗係数を無限大に収束させれば存在し,しかも弾性熱方程式の解に収束する.