偏微分方程式論における一意性の研究

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半線型熱方程式u_t=a(x、u、u_x)u_<xx>+b(x、u、u_x)より自然に作られる力学系の研究において、そのω極限集合を解明するために、線型熱方程式V_t=a(x、t)V_<ax>+b(x、t)V_x+c(x、t)V in{o<x<1、a<t<b}、の解Vの零点集合Z={(x.t)(〕 SY.notombr. 〔)[0.1]×(a.b);V(xt)=o}を明らかにすることが重要である。この問題に対して、研究代表者渡辺は「Remarques sur l'ensemble de zero d'une solutiond'une equation parabolique en dimension d'espace1」なる論文を研究期間内に作制した。本論文は現存投稿中である。この論文の主結果は次のとうりである。上記線型熱方程式の非自明解Vが自然な境界条件、例えば、V(0、t)=V(1、t)=O、V_x(0、t)=V_x(1、t)=O、または、V(0、t)=V(1、t)、V_x(0、t)=V_x(1、t))、を満足する時、Vの零点集合Zは、その特異部分S={(x.t)(〕 SY.notombr. 〔)Z;V_x(x.t)=O}の点(x_o、t_o)の近くでは、m個(m≧2)の連続な曲線「j;x=〓_j(t)、1≦j≦m、から成り、それらは「j〓「k={x_o、〓_o)}(j≠k)を満す事を示した。この事実よりV(・、t)の0≦x≦1における零点の個数をV(t)とした時次の事実が示される。(i)V(t)<∞(ii)Vは(a、b)で非増加関数である。(iii)Vがt=t_oで連続であるための必要かつ十分条件はV(・、t_o)が単純零点のみを持つことである。(iv)Vの不連続点は高々可算個であり、不連続点の集合の集積点は、し存在すれば、aのみである。これらの事実は先に述べた半線型熱方程式の有異な解のω極限集合が一点から成ることの証明に重要な役割をはたしている。