常微分方程式系の初期値問題の数値解析的研究

常微分方程式系の初期値問題(dx)/(dt)=f(t,x),x(t_o)=x_o…(1)の解x(t)を,オイラー法,ルンゲ・クッタ法やアダムス法で代表される差分近似法x_<n+1>=x_n+h_npsi(t_n,x_n,h_n)(n=0,1,2,…),h_n=t_<n+1>-t_n(n=0,1,2,…)で数値計算によって、コンピュータで求めるとき、これ等の差分近似法の局所打切誤差と丸め誤差の影響で,各ステップt=t_nにおいて誤差γ_nが発生するため,実際の数値計算においては,元の初期値問題と異なった問題:(dy)/(dt)=f(t,y),(t≠t_n),y(t_n+O)-y(t_n-O)=γ_n,y(t_o)=y_o=x_o(n=0,1,2,…)…(2)の不連結解y(t)を求める問題となっている。したがって連結解x(t)と不連結解y(t)との差e(t)=y(t)-x(t)の挙動を調べることによって,差分近似法で解き易い初期値問題と解き難い初期値問題とを判別する数学的基準を確立することを本研究の目的とした。平成5年度の研究成果は次の定理である。「定理.初期値問題(1)の解x(t)と初期値問題(2)の解y(t)は次の関係式を満す。y(t)=x(t)+Σ^^m__<k=1>〓^1_oΦ(t,t_k,y_k+(θ-1)γ(t_k)γ(t_k)dθfor t puch that t_0<t_1<t_2<…<t_m≦t,ただし,Φ(t,t_k,y_k)は線形常微分方程式(dz)/(dt)=(δf)/(δw)(t,w(t,t_k,y_k))zの基本行列でΦ(t_k,t_k,y_k)=I(単位行列)を満すものとし、W(t,t_k,y_k)は初期値問題(dw)/(dt)=f(t,w),w(t_k)=y_kの解である。」この定理を,非線形振動の概周期現象の安定性の研究に応用することを計画している。

常微分方程式系の初期値問題(dx)/(dt)=f(t,x),x(t_o)=x_o…(1)の解x(t)を,オイラー法,ルンゲ・クッタ法やアダムス法で代表される差分近似法x_<n+1>=x_n+h_npsi(t_n,x_n,h_n)(n=0,1,2,…),h_n=t_<n+1>-t_n(n=0,1,2,…)で数値計算によって、コンピュータで求めるとき、これ等の差分近似法の局所打切誤差と丸め誤差の影響で,各ステップt=t_nにおいて誤差γ_nが発生するため,実際の数値計算においては,元の初期値問題と異なった問題:(dy)/(dt)=f(t,y),(t≠t_n),y(t_n+O)-y(t_n-O)=γ_n,y(t_o)=y_o=x_o(n=0,1,2,…)…(2)の不連結解y(t)を求める問題となっている。したがって連結解x(t)と不連結解y(t)との差e(t)=y(t)-x(t)の挙動を調べることによって,差分近似法で解き易い初期値問題と解き難い初期値問題とを判別する数学的基準を確立することを本研究の目的とした。平成5年度の研究成果は次の定理である。「定理.初期値問題(1)の解x(t)と初期値問題(2)の解y(t)は次の関係式を満す。y(t)=x(t)+Σ^^m__<k=1>〓^1_oΦ(t,t_k,y_k+(θ-1)γ(t_k)γ(t_k)dθfor t puch that t_0<t_1<t_2<…<t_m≦t,ただし,Φ(t,t_k,y_k)は線形常微分方程式(dz)/(dt)=(δf)/(δw)(t,w(t,t_k,y_k))zの基本行列でΦ(t_k,t_k,y_k)=I(単位行列)を満すものとし、W(t,t_k,y_k)は初期値問題(dw)/(dt)=f(t,w),w(t_k)=y_kの解である。」この定理を,非線形振動の概周期現象の安定性の研究に応用することを計画している。