非線形振動と波動の数値解析的研究

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非線形振動と波動に現われる概周期現象の数値解析を次の3点に絞って研究した。1.概周期現象の数値解析のための基礎理論の確立,2.概周期解の安定性,3.常微分方程式の数値解法.先ず第1の基礎理論としては、ウラベの定理を一般化した。即ち、準周期関数の性質を研究するために、故ウラベ教授は、擬周期関数の概念を導入し、この概念を経由して、解の存在と誤差評価を与える定理をつくり証明したが、我々は、命題「準周期関数例の一様極限もまた準周期関数となる」を発見し、これを用いることによってウラベの定理の証明がより簡潔になることを示した。さらに一般化されたExponential Dichotomyの概念を導入することによって、非線形性の強弱に無関係に我々の定理が成立し、応用範囲が広いことがわかった。第2の概周期解の安定性については、非線形微分方程式の解に関する第1変分方程式の解のLjapunov数が重要な役割を演じることが数値計算によって判明した。この数値結果を手がかりに、概周期解のModuleの数理と安定性の研究を発展させる予定である。最後に、第3の常微分方程式の数値解法について報告する。常微分方程式の初期値問題(dy)/(dt)=f(t,y)、y(t_0)=y_0の解y(t)(t_0≦t≦T)をStep-by-Step法y_<R+1>=y_R+h_Rψ(t_R,x_R;h_R)(R=0,1,2,3,……)で数値積分するとき、局所誤差r(t_R)の影響で我々は初期値問題(dx)/(dt)=f(t,x)for t≠t_R、x(t_R)=x(t_R+0)=x_R、x(t_R+0)-x(t_R-0)=r(t_R)の不連結解x(t)を求めることになるので差のノルム||x(t)-y(t)||が如何なる挙動を雌かによって解y(t)が数値計算によって安定に求まるかどうかを論じるために、新しく条件数の概念を導入した。