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常微分方程式系の概周期解の数値解析的研究

常微分方程组近似周期解的数值分析研究

基本信息

批准号：
61540159
负责人：
篠原能材
金额：
$ 0.77万
依托单位：
The University of Tokushima
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1986
资助国家：
日本
起止时间：
1986 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

常微分方程式系で記述される非線形振動の概周期現象の数理を次の2点に絞って研究した。(A)概周期解の数値解析。(B)周期解の分岐現象の数値解析。先ず、(A)についての研究成果を報告する。本研究では、実際的な例として、外力を共うファン・デア・ポール方程式(1)【d^2】x/【dt^2】-2λ(1-【x^2】)dx/dt+x=acos【v_1】t+bcos【v_2】tの準周期解をガレルキン法による数値計算によって調べた。ここでλ〉0,【v_1】=2π/【w_1】,【v_2】=2π/【w_2】および【w_2】/【w_1】は無理数である。式(1)の準周期解のm位のガレルキン近似:【x_m】(t)=α(0,0)+【m!Σ!(r=1)】【Σ!((^1p^1)=r)】{【α_p】cos(p,v)t+【β_p】Sin(p,v)t}(p,v)=【p_1】【v_1】+【p_2】【v_2】,1p1=1【p_1】1+1【p_2】1をコンピュータで求めて、方程式(1)の準周期解の数学的存在証明をよえ、かつ、この解の性質を調べた。その結果、我々の取扱った準周期解は、λ→+∞のとき、線形方程式(2)【d^2】x/【dt^2】-2λdx/dt+x=acos【v_1】t+bcos【v_2】tの解に收束することがわかった。次に、(B)についての研究成果を報告する。パラメータ・μを含む周期系の常微分方程式(3)dx/dt=f(t,x,μ),(x,f(t,x,μ)←【1R^n】,u←1R),1Rは実数全体の集合を表す、の周期解x(t)の分岐問題が、この周期解の初期値x(o)を未知数とする非線形方程式の分岐点を求める問題に帰着されることに着目して、分岐問題の数値解析を行った。

A mathematical study of the almost periodic phenomena of nonlinear vibrations described in ordinary differential equations. (A)Numerical value analysis of almost periodic solutions. (B)Numerical value analysis of bifurcation phenomena of periodic solutions. First,(A) report on the research results. In this study, the quasi-periodic solution of equation (1)[d^2] x/[dt^2]-2λ(1-[x^2])dx/dt+x=acos [v_1] t+bcos [v_2] t is calculated by the method of numerical adjustment.ここでλ> 0,【v_1】=2π/【w_1】,【v_2】=2π/【w_2】および【w_2】/【w_1】は无理数である。The m position of the quasi-periodic solution of equation (1) is approximated as follows: [x_m](t)=α(0,0)+[m!Σ! (r=1)】【Σ! ((^1p^1)=r)}{[α_p] cos(p,v)t+[β_p] Sin(p,v)t}(p,v)=[p_1][v_1]+[p_2][v_2],1p1=1 [p_1] 1+1 [p_2] 1 As a result, we obtain quasi-periodic solutions, λ→+∞, linear equation (2)[d^2] x/[dt^2]-2 dx/dt+x=acos [v_1] t+bcos [v_2] t. (B) The results of the study are reported. The ordinary differential equation (3)dx/dt=f(t,x,μ),(x,f(t, x, μ)← [1R^n],u←1R),1R is a set of numbers, a bifurcation problem of periodic solution x(t), a bifurcation point of non-linear equation of initial periodic solution x(o), an unknown number.