常微分方程式系の概周期解の数値解析的研究

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常微分方程式系で記述される非線形振動の概周期現象の数理を次の2点に絞って研究した。(A)概周期解の数値解析。(B)周期解の分岐現象の数値解析。先ず、(A)についての研究成果を報告する。本研究では、実際的な例として、外力を共うファン・デア・ポール方程式(1)【d^2】x/【dt^2】-2λ(1-【x^2】)dx/dt+x=acos【v_1】t+bcos【v_2】tの準周期解をガレルキン法による数値計算によって調べた。ここでλ〉0,【v_1】=2π/【w_1】,【v_2】=2π/【w_2】および【w_2】/【w_1】は無理数である。式(1)の準周期解のm位のガレルキン近似:【x_m】(t)=α(0,0)+【m!Σ!(r=1)】【Σ!((^1p^1)=r)】{【α_p】cos(p,v)t+【β_p】Sin(p,v)t}(p,v)=【p_1】【v_1】+【p_2】【v_2】,1p1=1【p_1】1+1【p_2】1をコンピュータで求めて、方程式(1)の準周期解の数学的存在証明をよえ、かつ、この解の性質を調べた。その結果、我々の取扱った準周期解は、λ→+∞のとき、線形方程式(2)【d^2】x/【dt^2】-2λdx/dt+x=acos【v_1】t+bcos【v_2】tの解に收束することがわかった。次に、(B)についての研究成果を報告する。パラメータ・μを含む周期系の常微分方程式(3)dx/dt=f(t,x,μ),(x,f(t,x,μ)←【1R^n】,u←1R),1Rは実数全体の集合を表す、の周期解x(t)の分岐問題が、この周期解の初期値x(o)を未知数とする非線形方程式の分岐点を求める問題に帰着されることに着目して、分岐問題の数値解析を行った。