权益分类	功能权益	普通用户	{{item.name}}会员
{{category.name}}	{{benefitItem.name}}

常微分方程式系の初期値問題の数値解析的研究

常微分方程组初值问题的数值分析研究

基本信息

批准号：
01540184
负责人：
篠原能材
金额：
$ 0.45万
依托单位：
The University of Tokushima
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1989
资助国家：
日本
起止时间：
1989 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

常微分方程式の初期値問題(1)(dx)/(dt)=f(t,x),x(t_0)=x_0の解x(t)をオイラ-法、ルンゲ・クッタ法やアダムス法で代表される差分近似法:x_<n+1>=x_n+hn4(t_n,x_n,h_n),h_n=t_<n+1>-t_n,t_n=T(n=0,1,2,……)で数値的に求めるとき、この差分近似法の局所打切り誤差と数値計算によって生じる丸め誤差の影響で、各ステップt=t_nにおいて誤差r_nが発生するため、実際の計算では、元の初期値問題(1)とは異なる初期値問題(2)(dy)/(dt)=f(t,y)(t≠t_n),y(t_n+0)-y(t_n-0)=r_n,y(t_0)=y_0=x_0(n=1,2,3……)の不連続な解y(t)を求めていることになっている。従って、元の初期値問題(1)の解x(t)と初期値問題(2)の解y(t)との差e(t)(]SY.identical with.(〕SYx(t)-y(t)がどのような挙動を示すかを研究することによって、差分近似法で解き易い初期値問題と解き難い初期値問題を判別するための実用的な基準すなわち条件数の概念を導入し、確立することが本研究の目的であった。得られた結果は、次の定理および系である。定理・常微分方程式の初期値問題(dw)/(dt)=f(t,w),w(t_R)=X_Rの解w=w(t,t_R,x_R),に対する第一変分方程式(dz)/(dt)=(αf)/(αw)(t,w(t,t_R,x_R))Zの基本行列をΦ(t,t_R,x_R)とする。ただし、Φ(t_R,t_R,x_R)=I(単位行列)。このとき、t_0<t_1<t_2<・・<t_n≦t<T(n≦N-1)を満たすtに対してy(t)=x(t)+Σ^n_<R=1>∫^1_0Φ(t,t_R,x_R+(θ-1)r(t_R))r(t_R)dθが成り立つ。系・t→Tまたはt→t^*<Tのとき||Σ^n_<R=1>∫^1_0Φ(t,t_R,x_R+(θ-1)r(t_R))r(t_R)dθ||→∞ならば、初期値問題(1)の解x(t)は悪条件である。これ等の結果は、常微分方程式の初期値問題(1)の解x(t)が差分近似法で数値的に求められるためには、解x(t)は悪条件であってはならないことを示している。

The Initial Value Problem of Ordinary Differential Equations (1)(dx)/(dt)= f (t, x), x (t_0)= x_0 and the solution x (t) is represented by difference approximation: x_<n +1>= x_n + hn 4 (t_n, x_n, h_n), h_n = t_<n +1>-t_n, t_n = T (n = 0,1,2,…) The calculation of numerical values is based on the local cutting error of the difference approximation method. The calculation of numerical values is based on the influence of the local cutting error on the calculation of numerical values. The calculation of numerical values is based on the local cutting error of the difference approximation method. The initial value problem (1) is different from the initial value problem (2)(dy)/(dt)= f (t, y).(t ≠ t_n), y (t_n +0)-y (t_n-0)= r_n, y (t_0)= y_0 = x_0 (n = 1,2,3...) The solution of x (t) to the initial value problem (1) and the solution of y (t) to the initial value problem (2) and the difference e (t)(] SY. identical with. SYx (t)-y (t) is a useful criterion for determining the initial value of a solution to a difficult initial value problem. The result of this theorem is that Theorem·The initial value problem of ordinary differential equation (dw)/(dt)= f (t, w), w (t_R)= X_R w = w (t, t_R, x_R), corresponding to the first differential equation (dz)/(dt)=(α f)/(α w)(t, w (t_R, x_R)) Z basic column Φ (t, t_R, x_R).Φ (t_R, t_R, x_R)= I (unit row). T (t)= x (t)+ Σ ^n_<R = 1><$^1_0 Φ (t, t_R, x_R +(θ-1) r (t_R)) r (t_R) d θ. t → T t → t ^*<T|| Σ^n_<R=1>∫^1_0Φ(t,t_R,x_R+(θ-1)r(t_R))r(t_R)dθ|| → ∞The result of this equation is that the initial value problem of ordinary differential equation (1) is solved by difference approximation method.