連立非線形方程式系の大域における数値解法とその応用

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連立非線形方程式系(1)〓(〓)〓{f_k(x_1,x_2,…,x_m)}=(1)(k=1,2,…,m)の複数個の解〓^^<^>すべてを組識的に大域において求めるために,方程式系(1)から,いちばん複雑な方程式,例えばf_m(〓)=0を選び出してこれを除去し,残されたm-1個の方程式系f_α(〓)=0(α=1,2,…,m)がm次元ユ-クリッド空間〓^mの中に定めるm-1個の曲面の交わりとしての曲線Cの満たす常微分方程式(dx_i)/(ds)=λDi(i=1,2,…,m),Di=(-1)^i(α(f_1,f_2,…,…,f_<m-1>))/(α(x_1,x_2,…,x_<i-1>,x_<i+1>,…,x_m)),λ=±[Σ^^m__<i21>D^2_i]^<-1/2>を作る。ただしSは曲線Cの弧長である。この微分方程式をオイラ-法またはルンゲ-クッタ法とニユ-トン法を用いて数値的に解くことによって曲線Cを追跡し,この曲線Cと曲面f_m(〓)=0との交点〓^^<^>を順に求めて行くことによって,与えられた方程式系(1)のすべての解〓^^<^>を組織的に算出する幾何学的解法を研究代表者が論文(Publ RIMS,Kyoto Univ.Vol.8(1972),13ー42)で提案した。この幾何学的解法は篠原法とも弧長法とも呼ばれて広く用いられている。この解法ではニュ-トン法を用いているために曲線Cと曲面f_m(〓)=0とが2次以上の接触をする場合には収束性の速度に問題点が残っていた。この問題点を解消するために,本研究では,Pade^^′近似に基づく新しい反復公式(2)〓^<(j+1)>=〓^<(j)>+[-〓^<1-1>_j〓_j]^2(/)-〓^<1-1>_j〓_j+〓^<1-1>_j〓^″_j[-〓^<1-1>_j〓_j,-〓^<1-1>_j〓_j],(j=0,1,2,…)〓_j=〓(〓^<(j)>)=〓(x^<(j)>_1,x^<(j)>_2,…,x^<(j)>_m),〓^′_j=〓^′(x^<(j)>_1,x^<(j)>_2,…,x^<(j)>_m),(].SU.〔)を開発した。そして反復公式(2)をニュ-トン法に代用して成功した。