アソシエーションスキームとスピンモデルの構造

本年度の目標であった「距離正則2部グラフ上のスピンモデルの分類」に関しては、その完全な分類が本年度前半で完成した。まず、新しい不変量(パラメータK)を導入することにより、グラフが強い正則性(2-homogeneous)を持つことを示し、次に、2-homogeneousな距離正則2部グラフの分類を行うという2段階の構成により分類が完成した。本年度後半には、当初の予想をはるかに上回る進展があった。まず、以前に導入した「スタートライアングル方程式の局所化」の方法によって、内周が4以上の任意の連結グラフでスピンモデルの構造を許すものは、必然的に距離正則であることを示した。これは、スピンモデルの構造がアソシエーションスキームの構造を導くことを強く暗示する結果である。この結果が引き金となって、「任意のスピンモデルはアソシエーションスキームの上で構成される」という画期的な結果がF.Jaegerによって得られた。さらにJaegerの結果を受けて、「N-代数」と呼ばれることになった新しい代数を導入することにより、その代数的な証明を得た。N-代数は自己共役的,modular invariance等の非常に良い性質をもっていて、スピンモデルの研究に新しい方向づけを行うことになるであろう。実際、Jaeger、松本真等との共同研究により、このN-代数の詳しい解析が進展中である。また、Jones,de la Harpe,Bacher等によるvon Neumann algebraに関するtowers of algebrasの研究との関連で、N-代数は、結び目理論だけでなく作用素環論とも密接に結びついていくことが予想される。

本年度の目標であった「距離正則2部グラフ上のスピンモデルの分類」に関しては、その完全な分類が本年度前半で完成した。まず、新しい不変量(パラメータK)を導入することにより、グラフが強い正則性(2-homogeneous)を持つことを示し、次に、2-homogeneousな距離正則2部グラフの分類を行うという2段階の構成により分類が完成した。本年度後半には、当初の予想をはるかに上回る進展があった。まず、以前に導入した「スタートライアングル方程式の局所化」の方法によって、内周が4以上の任意の連結グラフでスピンモデルの構造を許すものは、必然的に距離正則であることを示した。これは、スピンモデルの構造がアソシエーションスキームの構造を導くことを強く暗示する結果である。この結果が引き金となって、「任意のスピンモデルはアソシエーションスキームの上で構成される」という画期的な結果がF.Jaegerによって得られた。さらにJaegerの結果を受けて、「N-代数」と呼ばれることになった新しい代数を導入することにより、その代数的な証明を得た。N-代数は自己共役的,modular invariance等の非常に良い性質をもっていて、スピンモデルの研究に新しい方向づけを行うことになるであろう。実際、Jaeger、松本真等との共同研究により、このN-代数の詳しい解析が進展中である。また、Jones,de la Harpe,Bacher等によるvon Neumann algebraに関するtowers of algebrasの研究との関連で、N-代数は、結び目理論だけでなく作用素環論とも密接に結びついていくことが予想される。