偏微分方程式の幾何と解析

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当研究に於て当初の目的のうち、ハミルトン-ヤコビ方程式のCauchy問題に関する研究は空間次元が一次元の場合にほぼ達成された。これらの方程式は一階の偏微分方程式のなかでも特に応用上重要な方程式でそれらの弱解も存在、一意性などは古くから良く研究されていたものであるが、そこに現われる特異性(衝撃波)等の肝心の現象については当研究によって始めて明らかにされてきたと言っても過言ではない。具体的には、これらの方程式の解を記述する正しい幾何学的モデルが構成され、その枠組みによって得異性の研究は特異点の幾何学の言葉によって研究することが可能になった。本年度は典型的な場合の具体的な得異性の分類を与えた。それにより、幾何学的な解の特異性と応用上に現われる特異性(解析学的)とは少々違いがある事が判り、従来から予測されていた事とは異なる事実も発見された。この研究は、まだ端緒についたばかりであり、現在、同様な方法がDirichlet問題についても有効であることが確認されつつある。その他、微分方程式の幾何学的研究に於いて重要なリー環論的手法による研究も進展があり、その応用として射影的微分幾何と偏微分方程式の関係が明らかにされた。また、障害物が存在する場合の最短線を求める問題に付随して現れるいわゆるラグランジュ特異部分多様体の特異点の安定性に関する研究や界面の発達を記述する平均曲率の発展方程式に対しても重要な進展が得られた。