一階偏微分方程式と特異点

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一階偏微分方程式の一般的解は1ーjet束のつくる接融多様体のルジャンドル部分多様体と考えられる.特に,完全積分可能系はこの完全積分のパラト-タを考えると,Nジャンドル開折として理解できることがわかり,そのパラメ-タに治った解の特異点の分類を考えることができる.さらに,ホロノミ-系に対しては,両方に開いた型の写像芽のダイアグラムに対応しており,その写像芽のダイアグラムの自然な分類がリ-によって考えだされた,微分方程式の点変換による分類に対応している事がわかった。このことから,ホロノミ-系から誘導される写像芽のダイアグラム(ホロノミ-積分図式と呼ぶ)の分類を行なえば,ホロノミ-系自体の分類が行なわれることとなる.今年度は,ホロノミ-積分図式の分類のアルゴリズムを発見し,次元が2以下の場合に分類を実行した現在,次元が3以下の場合と,R^+ー単純とよばれるクラスの分類を継続中である。また,ハミルトンーヤコビ型方程式のコ-シ-問題を考えると,初期条件がなめらかになっているにもかかわらず,ある一定時間後には,その解に特異点があらわれることが知られている.このプロセスは,次元が低い場合にかぎられた情況における研究しかしられてない。本研究では,ハミルトンーヤコビ型方程式の一般化された意味でのコ-シ-問題は,ルジャンドル開折としてみる事が出来ることが発見され,その分類理論と適用することにより,解の幾何学的特異点があらわれるプロセスをあきらかにした.