偏微分方程式の幾何学的理論と特異点

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当研究に於いて当初の目的のうち、ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式及び保存則の方程式に関する研究はほぼ達成された。これらの方程式は一階の偏微分方程式のなかでも特に応用上重要な方程式でそれらの弱解も存在、一意性などは古くから良く研究されていたものであるが、そこに現われる特異性(衝撃波)等の肝心の現象については当研究によって始めて明らかにされてきたと言っても過言ではない。具体的には、これらの方程式の解を記述する正しい幾何学的モデルが構成され、その枠組みによって特異性の研究は特異点の幾何学の言葉によって研究することが可能になった。本年度はさらに、典型的な場合の具体的な特異性の分類を与えた。これは、幾何学的な解の特異性であるため応用上に現われる特異性(解析学的)とは少々違いがあり、それらの間の関係も究明する必要がある。これに関しては、次元が低い場合に取り掛かることが始められた。さらに、一階の偏微分方程式のなかでこれらの方程式がどのような意味を持つかについて研究し、その特性ベクトル場による特徴付けをあたえた。また、古典的な一階の遍微分方程式論のなかで重要な役割を担う完全積分可能な方程式について研究しその特徴付け及び特異解の厳密な定義を与えることに成功した。さらに、クレロー型という特別な微分方程式の特徴付けや完全解を分類することも行なった。その結果そこに現われるWeb構造とその分類の空間との関係が明らかになった。