線形及び非線性超函数論と超局所解析

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初期面上でのみ特性根が重なるような線形双曲型作用素の研究、特に解の特異性の分岐の研究は、Alinhac,谷口、戸崎、中根らに始まり、天野、中村、高崎によるm階の場合の一般論によってほぼ解決した。しかし彼等はすべて問題をある種の、無限遠に不確定特異点を持つ常微分方程式の解の漸近製造に帰着させているため、m【greater than or equal】3のときは対応する常微分方程式のStokes係数等が不明であり具体的な例の解析などはなされていなかった。これに対し片岡、小松らのグループは分数ベキ座標変換と量子化Legendre変換の方法を用いて、上記の問題を確定特異点のみをもつ常微分方程式の接続問題に帰着させる事に成功した。特に山根はこれを3階の場合に具体的に応用して分岐条件を初めてはっきりした形で与えた。また片岡らは形式シンボルによる、アプリオリ評価の方法を見い出し、これらの理論を全く一般の形の作用素にも適用できるように改良した。これらの方法は分岐の問題だけでなく、確定特異点型境界値問題の超局所解析全般に応用できる。例えば、楕円的因子に対応して、境界値の間に分数ベキ擬微分方程式が成立することが一般的に示せる。その際、係数にはある種の分数ベキをもつ解析関数まで許される。非線形問題については堤らが空間次元が2など低い場合の非線形シュレジンガー方程式に関して大域的可解性などの重要な結果を得ている。同様の問題では次元の高い場合は既にわかっており、低い場合の方がむしろ興味深い。実際、堤の周辺では空間次元1の場合、大域可解性などが成立する非線形項の形を7種類導出することに成功したがその中で使われた、非線形超関数のノーマルフォームの理論はColombeau超関数の立場から見て大変興味深く、今後の