整環の表現論

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本年度はAuslander-Reiten理論の高次元版の研究を昨年に引き続き続行した。I.Reitenとの共同研究において、Calabi-Yau代数の概念を導入し、それを特徴付けることに成功した。またCalabi-Yau代数上の傾斜加群を研究し、2次元および3次元の場合に、多くの興味深い成果を得た。これは現在も続行中であり、2次元の場合はMcKay対応を介してSeidel-Thomasのtwist関手と対応するが、以下は3次元の場合のみ述べる。d次元特殊線形群の有限部分群$G$に付随した捩れ群環$S*G$($S$はd変数べき級数環)上の傾斜加群と、商特異点$S^G$の非可換クレパント解消の間の一対一対応を発見した。これはより一般の3次元正規Gorenstein特異点上の(加群として)有限生成非可換代数においても成立する。特にこの対応を用いることにより、Van den Berghの提唱した、Bondal-Orlov予想の非可換版を3次元の場合に完全に解決することに成功した。昨年の結果では、Cohen-Macaulay孤立特異点という強い制限が必要であったため、大きな前進といえる。また上記の対応の応用として、$S^G$上のrigid reflexive群を、非可換クレパント解消の直和因子として特徴付けることに成功した。とくに$S^G$上のrigid reflexive加群は、直和因子が高々g(=Gの規約表現の個数)であり、また必ずg個まで拡張でき、そのときは非可換クレパント解消となることが従う。また吉野雄二氏との共同研究で、三角圏における極大直行部分圏の概念を導入し、そこでもやはりAuslander-Reiten理論の高次元版とみなされる現象が存在することを観察した。特に高次Auslander-Reiten列の存在を示し、それを用いた極大直行部分圏にたいするmutationと呼ばれる操作が可能であることを示した。これはReitenとの共同研究とも深くかかわっており、現在も進展中である。