Self-similar fractal 上の拡散過程の研究

自相似分形扩散过程研究

• 批准号: 07640282
• 负责人: 長田 博文
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07640282/
• 关键词: フラクタル; 拡散過程; ブラウン運動; ディリクレ形式

1.infinitely ramified fractal上のBrownian motion構成:無限個の障害物が散らばる領域において、反射壁ブラウン運動の転移確率についての上下からの大局的な評価を行った。これの応用として、Sierpinski carpets上の対称かつ非退化な自己相似拡散過程の族を構成した。更にこれらは局所平行移動不変であり、fractalの図形的不変性に応じた不変性を兼ね備えている。ただ、これらの拡散過程は不変測度がfractal measureと違うためBrownian motionと呼ぶのはふさわしくないが、従来とは全く違った明晰なやり方で拡散過程を構成した点が面白いと思う。我々の方法はDirichlet form理論を使うもので、従来はfinitely ramified fractalにしか有効でないと思われていたこの理論がfractalの中の障害物の部分の境界がなめらかな多様体になっている事に注目しその上で普通の微分からできるDirichlet formを考えfractal全体で動く拡散過程を構成するというのがアイデアである。この拡散過程が非退化を言うのに上記の反射壁ブラウン運動の転移確率の評価を用いている。将来この拡散過程の族の極限としてBrownian motionを作る事を期待している。2.nested fractal上のBrownian motionの一意性の証明:finitely ramified cell fractalと言うかなり広いfractalのクラスで非退化な自己相似拡散過程が存在するための必要十分条件を求めた。つまりhitting probabilityの方程式という物を考えその解を与えるごとに一つ非退化な自己相似拡散過程が一意に存在する事を示した。最近Sabotがnested fractal上のBrownian motionに関するhitting probabilityの方程式の解の一意性を証明したが、これと我々の結果を合わせるとBrownian motionの一意性がついに示された事になる。

1. Brownian motion on infinite ramified fracture: infinite number of obstacles scattered in the field, reflection wall, movement accuracy, up and down, overall evaluation This is a family of non-degenerate, self-similar dispersion processes on Sierpinski carpets. In addition, the parallel movement of the bureau does not change, the fractal does not change, and the preparation is completed. The process of dispersion is not measured by fractal measure. Brownian motion is called fractional measure. Our method is based on the Dirichlet form theory, and it is effective in the future when it comes to a finely modified fracture. This theory is focused on the realm of the obstacles in the fracture and the complexity of the matter. Moreover, the Dirichlet form, which is ordinary and differential, can be considered to form the entire dynamic and dispersive process of the fracture. The dispersion process is non-degenerate, and the reflection wall is reflected. The accuracy of the dispersion process is evaluated. The limit of Brownian motion in the future 2. A proof of Brownian motion on nested fracture: a necessary condition for the existence of a finally ramified cell fracture The equation of hitting probability is a solution of a non-degenerate self-similar dispersion process. Recently, the solution of the equation for hitting probability on Brownian motion on a nested fracture has been proved to be consistent with the result of Brownian motion.

项目成果

長田博文: "Long time estimates for transition probabilities of reflecting barrier Brownian motions," Proceeding of 7'th Japan-Russian symposium on “Probability theory and Mathematical Statistics". (予定).

Hirofumi Nagata：“反映势垒布朗运动的转变概率的长期估计”，第七届日俄“概率论与数理统计”研讨会论文集（计划）。

楠岡成雄: "Limit fheorem onoption replication with transaction cost" Annals of Applied Probability. 5. 198-221 (1995)

Shigeo Kusuoka：“用交易成本限制期权复制”，《应用概率年鉴》5. 198-221 (1995)。

長田博文: "Self-similar diffusions on a class of infinitely ramified fractals," J.Math.Soc.Japan,. 47-4. 591-616 (1995)

Hirofumi Nagata：“一类无限分形的自相似​​扩散”，J.Math.Soc.Japan，47-4（1995）。

長田博文: "Dirichlet form approach to infinite-dimensional Wiener processes with singular interactions" Commun.Math.Phys.(予定).

Hirofumi Nagata：“具有奇异相互作用的无限维维纳过程的狄利克雷形式方法”Commun.Math.Phys（计划）。

長田博文: "An Invariance Principle for Additive Functionals of Non-svmmetric Markov processes and Homogenization of Reflecting Barrier Brownian Motions" Probab.Theory Relat.Fields. 101. 45-63 (1995)

Hirofumi Nagata：“非对称马尔可夫过程的加性泛函的不变原理和反射势垒布朗运动的均匀化” Probab.Theory Relat.Fields 101. 45-63 (1995)